DASTLAB INTEGRALLASH METODINING YUQORI TARTIBLI HOSILA OLDIDA KICHIK PARAMETR BO'LGAN TENGLAMANI SONLI YECHISHGA TADBIQI

Аннотация

Ushbu tadqiqotda yuqori tartibli hosila oldida kichik parametr mavjud bo‘lgan differensial tenglamani sonli yechish masalasi ko‘rib chiqiladi. Bu turdagi tenglamalar, ayniqsa, fizikadagi ko‘plab modellashtirishlarda, masalan, issiqlik o'tkazuvchanligi, diffuziya, suyuqliklar harakati kabi jarayonlarda uchraydi. Ular o‘ziga xos xususiyatga ega bo‘lib, kichik parametr sababli qatlam hosil bo‘lishi, yechimda keskin o‘zgarishlar yuzaga kelishiga olib keladi. Dastlab integrallash metodi — bu masalalarni sonli yechishda barqaror, yuqori aniqlikdagi natijalarni beruvchi qudratli yondashuvdir. Tadqiqotda ushbu metodning qo‘llanilish xususiyatlari, afzalliklari va yechimning sezgirlik zonalariga ta’siri tahlil qilinadi. Natijalar shuni ko‘rsatadiki, metod kichik parametrli murakkab masalalarni ishonchli hal etishda samarali vositadir. Kalit so‘zlar Dastlab integrallash metodi , kichik parameter , yuqori tartibli differensial tenglama Differensial tenglamalar bilan ifodalanuvchi fizik va texnik jarayonlarning modellashtirilishi amaliy matematikada muhim yo‘nalishlardan biri hisoblanadi. Aksariyat real modellar yuqori tartibli hosilalarni o‘z ichiga oladi, va ba’zilarida bu hosilalarning oldida kichik parametr mavjud bo‘ladi. Masalan: \varepsilon y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_0(x)y(x) = f(x), \quad 0 < \varepsilon \ll 1 Bunday tenglamalarning yechimlari oddiy holatlardan farq qilib, singulyar tabiatga ega bo‘ladi. Ya’ni, yechimda qatlam zonalari (boundary layers) paydo bo‘ladi — bu zonalarda yechim keskin o‘zgaradi, qolgan intervalda esa silliq saqlanadi. An’anaviy sonli yondashuvlar bu holatlarda yetarlicha aniqlik bera olmaydi yoki hisoblash xarajatlari juda yuqori bo‘ladi. Shu sababli, dastlab integrallash metodining qo‘llanilishi ayni muddao bo‘lib, bu metod bunday tenglamalarning sezgir tuzilishini inobatga olgan holda, barqaror va samarali yechim olish imkonini beradi. 100 SOLUTION OF SOCIAL PROBLEMS IN MANAGEMENT AND ECONOMY International scientific-online conference Dastlab integrallash metodining mohiyati shundan iboratki, tenglama oldin integrallanadi va yuqori tartibli hosilalar past tartiblilarga aylantiriladi. Natijada, kichik parametr ta’siri kuchsizlanadi va yechim silliqlashadi. Ayniqsa, bu metod differensial tenglama integrallari yordamida ifodalansa, yechimdagi qatlam zonalarini tabiiy ravishda qamrab oladiTadqiqotimizda:uqori tartibli kichik parametrli tenglamalarning klassik tahlili, dastlab integrallash metodining algoritmik qo‘llanilishi, sonli yechimlarning aniqligi va barqarorligi, boshqa metodlar bilan taqqoslashlar keng qamrovda yoritiladi. Bundan tashqari, metodning fizik modellardagi qo‘llanishi (issiqlik oqimi, diffuziya modellarida) misollar orqali ko‘rsatib beriladi. Shunday qilib, ushbu ish matematik modellashtirishda yangi yondashuvlarning ustunliklarini ko‘rsatib, singulyar tenglamalarning yechimida metodologik va amaliy jihatdan muhim bo‘lgan xulosalarni beradi. Quyidagi d ^c • n ? j. \ A(r, e) + eC(r, e)-^ + B(r, e)x = P(r, E)el6(t-£) (1) ko'rinishdagi parametrga bog'liq bo'lgan ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini integrallash masalasini qaraymiz, bunda x(t, £)-n-o'lchovli vektor r = Et- sekin o'zgaruvchi vaqt e < 1-kichik haqiqiy parameter; 6(t, e)- skalyar funksiya, i = V—l; A(t, e), B(t, e), C(t, e) — (n x n) matritsalar P(r, e)- n-o'lchovli vektor, quydagi shartlar bajarilsin: A(r, e), B(t, e), C(t, e) matritsalar va P(t,e)-vektor funksiya berilgan r E [0, L] oraliqda e parametrning darajalari bo'yicha yaqinlashuvchi qatorga yoyilsin: CO CO C(t, = ^ esCs (t), P(t, = ^ esPs (t), (2) s=0 s=0 CC A(x, e) = ^ esAs (t), B(t, e) = ^ esBs (t) s=0 s=0 VtE [0,L],detA0(r) * 0(3) dQ d(t, e) funksiya'ning — hosilasi sekin o'zgaruvchi funksiya, ya'ni * dO Tt = m(*) (2) qatorlarni koeffisientlari As(t), Bs(t), C(t), Ps(t)s = 0,1,2,... va k(r) funksiya berilgan [0,L] kesmada cheksiz differensiallanuvchi sistemani o'rganishda uning xarakteristik tenglamasi deb ataluvchi 101 SOLUTION OF SOCIAL PROBLEMS IN MANAGEMENT AND ECONOMY International scientific-online conference det[B0(r) — wA0(t)] = 0(5) tenglama muhim ahamiyatga ega. Sistemani umumiy yechimini tuzish uchun uni N d2x ^dx , N A(t, e)—^r + e C(t, e) — + B(t, e)x = 0 (6) dt* dt bir jinsli qismining 2n ta chiziqli bog'lanmagan x(1\t,e),x(2\t,e),.......,x(2n\t,e) yechimlarni topish zarur, shuningdek bir jinsli bo'lmagan (1) sistemani qandaydir x(t,e) xususiy yechi mni aniqlash kerek [1]. U holda (1) sistemaning umumiy yechimi 2n c x(t, e) = ^ cix(V)(t, e) + x(t, e). i=1 ko'rinishda ifodalanadi,bunda c^i = 1,2n)- ixtiyoriy o'zgarmas. Agar t berilgan kesmada o'zgarganda colon (x(l\t,e),^-)^) ,i = l/2n ustunli vektorlardan tuzilgan ( 2n x 2n) — matritsaning determinant noldan farqli bo'lsa, u holda bir jinsli sistemaning x(l\t,e),,x(1\t,e) yechimlari chiziqli bog'langan bo'ladi. Bunday yechimlar to'plami (6) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi deyiladi. Shuning uchun ikkita masalani qaraymiz