Решение возмущенных задач на собственные значения методом регуляризации

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. Одним из актуальных направлений в современной математике являются исследования, связанные с теорией нелинейных задач. Источником постановок таких задач служат математические модели, используемые в прикладной математике, биологии, экономике, гидродинамике, теории упругости и пластичности, теоретической и математической физике. При решении нелинейных задач важным фактором является феномен бифуркации и ветвления в таких задачах, что влечет появление новых решений в случаях перехода управляющих параметров уравнений через критические значения. Среди этих новых решений имеются устойчивые решения, а также решения, которые либо сразу гаснут, либо вообще не реализуется в практической ситуации. Изучение новых появляющихся в точках ветвления решений нелинейных задач и есть направление, называемое «теорией устойчивости и бифуркаций». Наиболее ярким примером бифуркационных (критических) явлений служат дивергенция (статическая бифуркация) и флаттер (динамическая осцилляционная потеря устойчивости пластин и оболочек, в частности, крыльев самолетов) в потоке газа или жидкости (гидроупругость). Особенно важной указанная проблема флаттера стала в сверхзвуковой аэродинамике. В середине прошлого столетия для исследования задач аэродинамики применялись только вариационные и сеточные методы. И только в XXI веке в этой области стали использоваться методы теории бифуркаций. Устойчивость рождающихся как статических, так и динамических решений исследуется методами теории возмущений. Более точно, изучается спектр производной Фреше нелинейного уравнения (системы уравнений) на ответвившемся решении. Предполагая, что известны собственные значения линеаризации, т.е. производной Фреше на тривиальном решении, ищут спектр Фреше на ответвившемся решении, что позволяет использовать методы теории возмущений из спектральной теории линейных операторов. Именно поэтому поток исследований, связанных с решением нелинейных задач методами теории возмущений, нарастает (с середины прошлого столетия) с экспоненциальной быстротой, и всякий новый глубокий результат в теории возмущений является актуальным как для самой теории возмущений, так и для ее приложений к решениям нелинейных задач. Основной причиной для востребованности исследований, связанных с тематикой настоящей диссертации, является тесная связь бифуркационных процессов с задачами описания возмущений дискретного спектра линейных операторов. Исследования ситуаций, относящихся к возмущению кратных собственных значений, связаны с определенными сложностями, которые, к сожалению, не всегда удается преодолеть. Так, например, в задаче возмущения фредгольмовых собственных значений установлено, что количество ответвляющихся от этих точек собственных значений возмущенного оператора будет столько, каково корневое число этого оператора, но при этом необходимо требовать полноту обобщенного жорданового набора (ОЖН). В случае же неполноты ОЖН возникает вырождение уравнения разветвления. В этой ситуации необходимы дополнительные вычисления по специально построенному алгоритму пополнения ОЖН. При этом, коэффициентами уравнения разветвления являются определители я-го порядка, в связи с чем процесс их нахождения требует выполнения огромного количества вычислений. В задаче возмущения нетеровых точек дискретного спектра подобные исследования проводить не удавалось по той причине, что уравнение разветвления собственного значения для таких операторов построить невозможно из-за неравенства размерностей нулевого и дефектного подпространств. Такая ситуация приводит к необходимости построения специальных операторов, для которых рассматриваемые кратные собственные значения уже оказались бы простыми или кратными, но с полным ОЖН. Процесс построения таких операторов называется регуляризацией линейных операторов. Процедура регуляризации линейных операторов позволяет нетеровы точки операторов превращать в фредгольмовы, что дает возможность построения уравнения разветвления, позволяющего определить все собственные значения и им соответствующие собственные элементы возмущенного оператора, при этом кратные собственные значения сводятся к простым, что снимает условия вырождения уравнений разветвления. Указанные методы сокращения огромного объема вычислений объясняют необходимость и востребованность привлечения исследований, относящихся к тематике настоящей диссертации.