Задача Коши для линейных эллиптических систем первого порядка

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. Многие прикладные проблемы, исследуемые, на мировом уровне, во многих случаях, сводятся к изучению некорректных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Объектом прикладных исследований на условную корректность и построение приближённого решения по заданным значениям на части границы области, для уравнений эллиптического типа, особенно важно в гидродинамике, геофизике и электродинамике. Изучение семейства регуляризирующих решений некорректных задач послужило импульсом для начала исследований класса корректности при сужении до компакта. В связи с прикладной важности исследования некорректных задач для линейных эллиптических систем первого порядка в пространственной области, является актуальной проблемой современной математической науки. В настоящее время, в мире, при исследовании некорректных краевых задач для линейных эллиптических систем первого порядка особую роль играет построение регуляризованного решения и получения критерий разрешимости. В этом целевом научном исследовании основными являются следующие направления: построение в специальных областях матрицы Карлемана в явном виде, получение оценок условной устойчивости решений задач и критериев их разрешимости, а также получение в бесконечной области с некомпактной границей интегральное представление для обобщенной системы Моисила-Теодореско, обобщенной системы Коши-Римана, однородной системы уравнений Максвелла. В годы независимости в нашей стране было уделено особое внимание исследованиям по дифференциальным уравнениям и математической физике, в частности исследованиям различных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа которые имеют практическое применение в прикладных науках,. В итоге были получены весомые результаты в исследованиях некорректных краевых задач, то есть построены приближенные решения при помощи матриц Карлемана в явном виде по приближенным данным в специальных областях, установлены оценки условной устойчивости и критерии разрешимости. Проведение научных исследований на международном уровне по важным направлениям специальности «Дифференциальные уравнения и математическая физика» рассматривается как основная задача фундаментальных исследований1. Развитие теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории условно корректных задач играют важную роль при исполнении этого постановления. Настоящая диссертация, в определенной степени, служит осуществлению задач, обозначенных в постановлениях Президента Республики Узбекистан №-ПП-916 «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения инновационных проектов и технологий производства» от 15 июля 2008 года, №-ПП-2789 «О мерах по дальнейшему совершенствованию деятельности Академии наук, организации, управления и финансирования научно-исследовательской деятельности» от 17 февраля 2017 года и №-УП-4947 «О стратегии действий по дальнейшему развитию Республики Узбекистан» от 8 февраля 2017 года, а также других нормативноправовых актов в данном направлении. Целью исследования является построение формулы Карлемана для линейных эллиптических систем первого порядка в ограниченной и неограниченной областях и на их основе получение регуляризованных решений некорректной задачи Коши, доказательств аналогов теоремы Фока-Куни. Научная новизна исследования заключается в следующем: - построены регуляризованные решения задачи Коши для обобщенной системы уравнений Коши-Римана в многомерной ограниченной и неограниченной областях и доказаны критерии их разрешимости; - для обобщенной системы уравнений Моисила-Теодореско получен аналог формулы Карлемана, при помощи которого построена регуляризация решения задачи Коши и доказан критерий разрешимости решения этой задачи; - построены формулы Карлемана и регуляризация решения задачи Коши для однородной системы уравнений Максвелла; - найден аналог теоремы Фока-Куни для однородной системы уравнений Максвелла; - получен аналог интегральной формулы Коши для обобщенных потенциальных и обобщенных голоморфных вектор-функций; - получена интегральная формула Стрэттона-Чу для однородной системы уравнений Максвелла в ограниченной и неограниченной областях; - решены задачи Коши для обобщенной системы уравнений Коши-Римана, однородной системы уравнений Максвелла и Дирака в гармоническом режиме с комплексным кватернионным параметром. Заключение Диссертационная работа посвящена исследованию некорректных задач для обобщенной системы Моисила-Теодореско, обобщенной системы Коши-Римана в многомерном пространстве и с комплексно кватернионным параметром, однородной системы уравнений Максвелла и Дирака, гармонических электромагнитных и спинорных полей. Основные результаты исследования состоят в следующем: 1. Доказана интегральная формула Коши для обобщенных голоморфного и потенциального векторов в бесконечной области типа слоя. 2. Доказана задача регуляризации для обобщенной системы Моисила-Теодореско в ограниченной и бесконечной областях. 3. Доказан критерий разрешимости решения задачи Коши для обобщенной системы уравнений Моисила-Теодореска. 4. Построены формула Карлемана и регуляризация решения задачи Коши для обобщенной системы Коши-Римана в многомерной области (п > 3) по их значениям на куске границы. 5. Построены формула Карлемана и регуляризация решения задачи Коши для однородной системы уравнений Максвелла. Найден аналог теоремы Фока-Куни для однородной системы уравнений Максвелла. 6. Решена граничная задача по заданным значениям на части границы для обобщенной системы уравнений Коши-Римана, гармонических электромагнитных и спинорных полей с комплексно кватернионным параметром.