TEKISLIKDAGI HARAKAT, UNING ENG SODDA TURLARI, ANALITIK IFODASI

Аннотация

Ushbu maqolada tekislikdagi harakat tushunchasi, uning eng sodda turlari va analitik ifodasi ko‘rib chiqiladi. Geometriyada harakat deganda, tekislik yoki fazodagi barcha nuqtalar orasidagi masofani saqlovchi o‘zgarishlar tushuniladi. Maqolada harakatning asosiy turlari – parallel siljish, aylanish va simmetriya akslantirishlari batafsil tahlil qilinadi. Shuningdek, ushbu harakatlarning analitik tavsifi, ya’ni koordinatalar yordamida ifodalanishi ham ko‘rib chiqiladi. Harakatlarning matematik modellari va ularning amaliy qo‘llanilishi geometriya, fizika va kompyuter grafikasi kabi sohalarda muhim ahamiyat kasb etadi. Mazkur maqola tekislikdagi harakatning nazariy asoslarini tushunish va ularning real dunyodagi qo‘llanilishiga doir bilimlarni kengaytirishga xizmat qiladi. Kalit so‘zlar: Tekislikdagi harakat, geometrik transformatsiyalar, izometriya, parallel ko‘chirish, aylanish harakati, akslantirish, transformatsiyalarning analitik ifodasi, koordinatalar o‘zgarishi, matritsalar yordamida ifodalash, affin o‘zgarishlar. Maktab geometriya kursida eng sodda almashtirishlar bilan tanishish ko’zda tutiladi, ular: parallel ko’chirish, simmetriya burish va o’xshash almashtirishlardan iborat. Parallel ko’chirish, simmetriya va burish barchasi adabiyotlarda bitta «harakat», yoki «siljitish» yoki «izometriya» deb aytiladi. 1-ta’rif. Tekislikning ixtiyoriy ikki nuqtasi orasidagi masofani o’zgartirmaydigan almashtirish «harakat» yoki «izometriya» deyiladi. Harakatni L orqali belgilaymiz. L harakat bo’lsa, tekislikning har qanday ikki M,N nuqtasi uchun ρ(M,N) =ρ(L(M), L(N)) (M1 = L(M) N1 = L(N)) Harakat xossalarini ko’rib chiqaylik. 100 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 3, ISSUE 02, 2025. FEBRUARY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 1°. Harakat kesmani o’ziga teng kesmaga o’tkazadi. 2°. Harakat bir to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtani, yana bir to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtaga o’tkazadi. 3°. Harakat to’g’ri chiziqni, to’g’ri chiziqqa o’tkazadi. 4°. Harakat nurni nurga o’tkazadi. 5°. Harakatda burchak kattaligi o’zgartirmaydi. 6°. Harakat, parallel to’g’ri chiziqlarni ya’na parallel to’g’ri chiziqlarga o’tkazadi. 7°. Harakat ko’pburchakni yana ko’pburchakka o’tkazadi (bunda mos burchaklarning kattaligi, tomonlarining uzunliklari o’zgarmaydi) 8°. Harakat aylanani yana aylanaga o’tkazadi, bunda aylana radiuslari o’zgarmaydi. 9°. Tekislikdagi harakatlar to’plami gruppa tashkil qiladi Isboti: 1° xossani isbotlaylik. Tekislikda ikkita A va B nuqtalarni olaylik. Harakat A va B nuqtalarni L(A)=A' va L(B)=B' nuqtalarga o’tkazsin. Agar CAB bo’lsa, u holda (1-chizma) ρ(AC)+ρ(CB)=ρ(AB) (1) Harakat ta’rifiga asosan ρ(A'C') +ρ(C'B') = ρ(A'B') (2) bu esa C'A'B' ko’rsatadi. Aksincha, agar qandaydir C’ nuqta C’A’B’ bo’lsa, u holda (2) tenglik o’rinli bo’ladi, bundan (1) tenglikning o’rinligini, undan esa CAB bo’ladi. 2° isbotini ko’rib chiqaylik. A, B, C bir to’g’ri chiziq nuqtalari bo’lsin, harakatda ularga A’, B’, C’ nuqtalar mos kelsin. Aniqlik uchun C nuqta A va B nuqtalar orasida yotsin deylik. U holda 1° xossaga asosan C'A’B’ da yotadi. Demak, A’, B’, C’ nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotadi. 101 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 3, ISSUE 02, 2025. FEBRUARY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 Nuqtalarning bir to’g’ri chiziqda yotish xossasini kollinearlik munosabati deyiladi. Kollinearlik munosabatini saqlovchi almashtirish kollineatsiya deyiladi. Demak, tekislikdagi harakat kollineatsiyadan iborat bo’ladi. 3° Tekislikda L-harakat va ixtiyoriy d to’g’ri chiziq berigan bo’lsin. d to’g’ri chiziqda yotuvchi ikkita A va B nuqtalarni olamiz. Harakat L(A)=A', L(B)=B'. A’ va B’ 2-chizma nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni d’ bilan belgilaymiz (2-chizma). Agar M nuqta d to’g’ri chiziqqa qarashli ixtiyoriy nuqta bo’lsa, u holda 1° xossaga ko’ra L(M)=M’d’. 4°-9° larni talabalar mustaqil ish sifatida o’rganiladi. 2-ta’rif. Agar ikki figuradan birini ikkinchisiga o’tkazadigan harakat mavjud bo’lsa, bu figuralar kongruent deyiladi. Bu kongruent figuralar tekislikdagi vaziyatlari bilan farq qiladi xolos. Teorema. Tekislikdagi L harakat R to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini, R' to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasiga o’tkazsa, M'=L(M) nuqtaning R' koordinatalar sistemasidagi koordinatalari M nuqtaning R to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasidagi koordinatalari bilan bir xil bo’ladi (3-chizma). Isbot. R(0,i,j) tekislikdagi to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi. L(O) = O', L(A )=A ’, L(A )=A ' o’tkaziladi. Yuqoridagi xossalarga asosan O’ , A’ 1 1 2 2 1 1 va A’ 2 nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotmaydi va A’ 2 1 =900. Demak R' dekart koordinatalar sistemasi bo’ladi. 3-chizma 102 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 3, ISSUE 02, 2025. FEBRUARY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 Тekislikda ixtiyoriy M nuqtasini R ga nisbatan koordinatalari x,y bo’lsin. OM M O x  1