SHTOLS TEOREMASI VA UNING TATBIQLARI

Аннотация

Shtols teoremasi matematik analizdagi muhim teorema hisoblanadi. Quyida teorema isboti va xalqaro olimpiadalarda tadbiqlarini ko’rib chiqamiz. Kalit sozlar: limit, Shtols teoremasi, monoton ketma-ketliklar. Teorema(Shtols). Bizga ikkita a  va b  ketma-ketliklar berilgan n n1 n n1 bo‘lsin: 1) b  ketma-ketlik qat‘iy o‘suvchi va n n1 lim b  n bo‘lsin; 2) Quyidagi limit mavjud bo‘lsin: a a n n1 lim l n b b n n1 U holda quyidagi ketma-ketlik yaqinlashuvchi va n b uning limiti lga teng, ya‘ni a n lim l n Isbot. Teorema shartida b  ketma-ketlik qat’iy o’suvchi va limiti ga teng. n n1 Demak, ketma-ketligimiz biror joydan ( nn chi hadidan boshlab ) musbat qiymat 0 qabul qilib boshlaydi va a a n n1 lim l n b b n n1 limiti mavjud. 0 berilganda ham mN mavjudki nm natural sonlar uchun 295 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 2, ISSUE 12, 2024. DECEMBER ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 a a n n1 b b n n1 bo‘ladi. Bundan quyidagini yozib olamiz l b b a a l b b n n n n1 n1 n1 endi n ni k bilan, k 1 bilan k 2bilan va hokazo n1 bilan almashtirib yozamiz: l b b a a l b b k1 k k1 k k1 k l b b a a l b b k2 k1 k2 k1 k2 k1 l b b a a l b b k3 k2 k3 k2 k3 k2 l b b a a l b b n n n n1 n1 n1 Bu ifodalarni qo‘shib yuborsak l b b a a l b b n n n k k k bu ifodani b ga bo‘lamiz: n  b  a a  b  k n k k  b  b b  b  n n n n a k k n k k b b b n n n bilamizki k k k k lim  lim 0 n b n b n n yuqoridagi 0 kora kN mavjudki nk natural sonlar uchun quyidagilar o’rinli: k k b n k k b n Endi pmaxm, p deb olsak, n p natural sonlar uchun yuqoridagi ikkita tengsizligimiz bir vaqtda bajariladi. Quyidagiga ega bo‘lamiz 296 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 2, ISSUE 12, 2024. DECEMBER ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 a k k n k k b b b n n n a n b n a n b n sonining ixtiyoriyligidan 2ixtiyoriy son bo’ladi. Ketma-ketlik limit tarifidan n b Ketma-ketlik yaqinlashuvchi va limiti l ga teng. Teorema to’liq isbotlandi. Endi teoremani olimpiada misoliga tatbiq etamiz Misol. Quyidagi ketma-ketlikning n limitni hisoblang: 1 zn  111 nn2 1 Yechilishi: zn  111 nn2 bu ketma-ketlikni Shtols teoremasini qanoatlantirishi uchun quyidagicha shakl almashtirish bajaramiz: 1 1 ln111 n  zn   111 nn2 e n2    . Endi z ketma-ketlikni x va y ketma-ketliklar orqali ifodalaymiz: n n n x ln 111 , y n2. Bunda ketma-ketlik quyidagi ko’rinishni oladi: n n x n y n z n e . Bilamizki, x x n lim n y n n lim z  lim e e n x n munosabat o’rinli. Endi lim qiymatini topish bilan shug’ullanamiz. Bu yerda n y n x ln 111 , y n2 hamda y qat’iy o’suvchi: y  y . Shtols n n n n n1 teoremasining shartlarini qanoatlantirdi. Endi x x n n1 lim n y  y n n1 297 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 2, ISSUE 12, 2024. DECEMBER ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 limitni hisoblaymiz:  n1  n  1  ln 111 ln 111  111 n1  n 11  11 n l im n l im ln  111 n n l im ln 1 ln11     n 1    11  Shtols teoremasiga ko‘ra x x x n n n1 lim  lim n y n y  y n n n1 x n munosabat o’rinli. Bundan lim ln11 ekanligi kelib chiqadi. Endi bu qiymatni n y n o’rniga qo’yib berilgan ketma-ketlikning n dagi limitini hisoblaymiz: x x n lim n y n ny n ln11 lim z  lim e e e 11 n Demak, 1 lim 111 nn2 11. Foydalanilgan adabiyotlar: 1. Azlarov T., Mansurov H Matematik analiz: Unversitet va ped. Institut talabalari uchun darslik: 2 qismli. 1-q. –qayta ishlangan va toldirilgan 2- nashri. –T.: Oqituvchi, 1994.-416 b 2. Brainkart.com. 298