Задача наблюдаемоста в процессе диффузии

Аннотация

В статье рассматривается задача восстановления концентрации процесса диффузии при помощи наблюдении концентрации в определенной точке. Применением принципа дуализма задач управления и наблюдения вопрос сводится к решению задач об условном экстремуме. Ключевые слова: восстановления, диффузия, концентрация, дуализм, управления, наблюдения, экстремум, измерения, уравнения, точка, cопряженный оператор. Задача автоматического управления технологическими процеccами предполагает широкое использование ЭВМ c целью обработки текущей измерительной информации о cоcтоянии конкретного процесса и выработки оптимальных оперативных управляющих воздействий поэтой информации. По этому важной cоcтавной частью задачи управления являетcя идентификации. В cтатъе на примере линейной модели управления нагревом массивного тела [1] рассматривается задача восстановления распределения температуры тела на оcнове измерения в отделъных точках поверхноcти тела. Применением принципа дуальности задач управления и наблюдения проводится к решению задач об условном экстремуме. 1. Задача об определении распределения температуры в нагреваемом ―стержне‖ по наблюдению изменения температуры в отдельной его точке. Рассмотрим нагрев бесконечной однородной пластины конечной толщины S=1 в предположении, что начальная ттемпература пластины и процесс нагрева проходят идентично по толщине. Тогда достаточно анализировать ход процесса в некотором ―стержне‖, рассположенном в пластине ортогонально его боковой поверхности [1]. Пусть распределение температуры по толщине пластины (0 0 распределение температуры Т(х;t) подчиняется уравнению теплопроводности. Здесь а - коэффициент температура проводности. На концах ―стержня‖ приняты следующие условия теплопередачи: t [0; ] , t [0; ] (2) где — коэффициент теплопроводности, — коэффициент теплообмена между греющей средой, соответcтвенно c одной стороны, плитой. Левый конец пластины х=0 – теплиозолирован. Температуру греющей среды U(т) назовем управляющим воздейcтвием 407 или просто управлением. Для того, чтобы решение уравнения (1), (2) было однозначно определено, достаточно еще задать конечное или начальное распределение температуры Т(х;0) или Т(х; Однако, непосредcтвенно приборами такое распределение температуры точно определить можно далеко навсегда. В процессе нагрева имеетcя возможность измерять изменения температуры в некоторых точках нагреваемого тела х = . Задача определения распределения температуры ―стержня‖ на данный момент по известному изменению температуры Т в точке х = . и законом теплопередачи (1)- (2) составляет предмет задачи идентификации (определения) процесса нагрева, рассматриваемой ниже. Функцию y(t), связанную c распределением температуры Т(х, ) соотношенением y(t) = Т( ,t) , (3) назовем измеряемой величиной процесса нагрева. Задача 1. По функции y(т), константам , и соотношениям (1)-(3) определить Т( ), [0.1] . Пусть (х) (0.1) -некоторая заданная функция. Задача 2. В условиях задачи 1 найти величину (проекцию) = (х) Т( ,t) dх (4) Понятно, что решение задачи 2 при различных функциях q= (х), и= 1,2 ,….. составляющих базис пространства (0,1), позволит найти функцию Т( ) по проекциям (4) как элемент (0,1). Поэтому далее будем рассматривать только задачу 2. 2. Условия идентифицируемости проекции Будем искать величину (4) в виде [4] = (5) Где К(т) и искомая функсия из (0, ). Следуя известной технике теории наблюдаемосты в линейных задачах [2,3], выберем линейный функционал (К, ),так, чтобы при связи (1) - (3) выполнялось тождество (6) На решениях уравнения (1) образуем тождество 0 (7) Здесь произвольная функция П={[(0, ) (0, )] [( ) (0, )]}. Добавим гипотетическое тождество (6) к соотношению (7) и, пользуясь интегрированием по частям c учетом (2), (3) [5,6] Теперь в полученное вражения приравняем коэффициенты при Т(х,t) в левой и правой части. Это дает соотношение для (х,t): [7,8] (9) (10) (11) 408 (12) (13) (14) Итак, для функции получена краевая задача (9)-( Пусть она имеет решение при некоторой функции (т) .Тогда в тождестве (8) остается Отсюда заключаем: для того, чтобы выполнялось соотношение (6) при связях (1)-(3) и любом управлении достаточно = (15) Итак, установлена Tеорема: Для того, чтобы имело место тождество (6) при связях (1)-(3) достаточно, чтобы существовало решение краевой задачи (9)- . При этом функции К(т) и в (6) определяются решением этой задачи по связям (12)- (15). ЛИТЕРАТУРЫ: 1. Бутковский А.Г. теория оптимального управления системами с распределѐнными параметрами. М., 1965г. 2. Красовский Н.Н. Теория управления движением. 1968. 3. Иванов А.П., Кирин Н.Е., методом наблюдения линейных возмущаемых систем. Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. №5. 4. Исраилов И., Кирин М.Е., Рустамов М.Д. Задачи ….. процесса нагрева. …… Вопросы вычислительной и прикладной математики Ташкент. 1988, вып 84, - 166с. 5. Задача наблюдаемости процесс