Задачи преследования-убегания при линейных, интегральных и разнотипных ограничениях

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. В связи бурного развития научно-технического прогресса в мире математические методы стали важным средством в управлении сложных систем. В управлении многих экономических и технических процессов требуется учесть еще конфликтность различных сторон. В связи с этим создан новый область математики, т.е. теория динамических игр, которая слагается из двух компонент - теории дискретных и дифференциальных игр. В сегодняшних сложных рыночных отношениях при решении многих экономических и технических задач эти теории находят свои важные приложения. После того, как наша страна приобрела независимость, с целью развития науки и технологии были разработаны ряд реформ. В постановлениях Президента Республики Узбекистан от 7 августа 2006 года «О мерах по совершенствованию координации и управления развитием науки и технологии», а также от 15 июля 2008 года «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения инновационных проектов и технологий производства» и в других нормативно-правовых актах фундаментальные науки и их внедрения в различные проекты были особо отмечены. Дифференциальные игры, как развития теории математических методов управляемых процессов, сочетают в себе динамичность, управляемость, противодействие, информированность, оптимальность и ряд других важных качеств и представляют собой одну из сложных математических моделей реальных процессов имеющее большое прикладное значение. В абсолютном большинстве работ, посвященных дифференциальным играм преследования-убегания, рассматривались системы, в которых управления выбирались только из класса ограниченных функций. Такие геометрические ограничения наложенные на управления выражают определенные конструктивные возможности управляемого устройства. Стремление к большей адекватности математических моделей с практическими задачами привело к необходимости изучения дифференциальных игр с интегральными ограничениями на управления игроков. Такие ограничения выражают, например, ограниченность энергии управления, уменшение других веществ, затрачиваемых по ходу процесса. Особенно при исследовании математических моделей технических процессов ограничение такого характера имеет важное значение в научно-прикладном аспекте. Необходимость изучения управляемых систем в общей постановке требует рассмотрение моделей, когда на управления налагаются одновременно оба типа геометрические и интегральные ограничения, или же их линейное объединение. Актуальность диссертации заключается в развитии основ дифференциальных игр в направлении теории преследования-убегания при различных ограничениях на управления игроков, в построении адекватных математических моделей в противодействующих управляемых процессах, а так же разработка методов в решении таких задач, что позволяет развитию теории математических методов управления и в фундаментальном, и в прикладном аспекте. Целью исследования является построение аналогов стратегии параллельного преследования для интегральных, линейных и разнотипных ограничений на управления игроков и их применение для решения задач преследования-убегания. Научная новизна исследования состоит в следующем: для решения задач преследования-убегания с простыми движениями игроков, когда на управление игроков наложены или геометрические, или интегральные, или же одновременно геометрические и интегральные ограничения для преследователя, построены стратегии параллельного преследования и установлены их новые свойства, а для задачи убегания получены нижние оценки сближения; вводится новое понятие, названное линейным ограничением на класс управлений игроков, которое содержит в себе как частный случай и интегральные, и геометрические ограничения, для соответствующих типов игр построены стратегии параллельного преследования; дано решение задачи Айзекса-Петросяна об игре с «линией жизни», когда движения игроков описываются линейными дифференциальными уравнениями, а на управления игроков наложены геометрические, интегральные или комплексные ограничения в определенных сочетаниях; метод разрешающих функций применен к решению задачи группового преследования с интегральными ограничениями на управления игроков и получены новые достаточные условия разрешимости; получены достаточные условия разрешимости задач группового преследования для контрольного примера Л.С.Понтрягина, а также для задачи об «/-поимке» в случае интегральных ограничений на управления. ЗАКЛЮЧЕНИЯ 1. Решены задачи преследования-убегания, когда точки движутся без инерции, а на управления игроков налагаются интегральные, разнотипные или комплексные ограничения. Для этих случаев построены аналоги стратегии параллельного преследования, гарантирующие оптимальные сближения. 2. Выпервые рассмотрены дифференциальные игры нового типа с линейными ограничениями на управление игроков, усиливающие традиционные интегральные и геометрические ограничения. 3. Получено полное решение задачи преследования-убегания, когда на управление преследователя налагается линейное ограничение, а на управление убегающего - чисто геометрическое, установлена справедливость теоремы об альтернативе Красовского. 4. Получено решение задача преследования в случае, когда на управления преследователя и убегающего наложены линейные ограничения, построены соответствующие стратегии параллельного преследования, так же гарантирующие оптимальные сближения. 5. Исследована задача Айзекса-Петросяна об игре с «линией жизни», когда движения игроков описываются однотипными линейными дифференциальными уравнениями при нескольких типах ограничений на управления игроков, получено соотношение выражающее изменение динамики множества точек встречи. 6. Развита метод разрешающих функций применительно к задаче группового преследования с интегральными ограничениями на управления игроков, получены новые достаточные условия разрешимости задачи преследования в постановке Л.С.Понтрягина. Работа носит теоретический характер. В основе теории дифференциальных игр центральное место занимает построение оптимальных и гарантирующих стратегий для игроков. Научное значение полученных результатов исследования заключается в построении таких стратегий при различных ограничениях на управления и их применения. Отметим, что полученные результаты по своему содержанию составят основу нового направления в теории управления.