ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ФОРМУЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

Аннотация

This article shows how to prove trigonometric functions using complex numbers and proving various trigonometric formulas. Key words: complex number, argument, Newton's binomial, Muavr's formula, equation. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ФОРМУЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. Аннотация. В данной статье показано, как доказывать тригонометрические функции с помощью комплексных чисел и доказывать различные тригонометрические формулы. Ключевые слова: комплексное число, аргумент, бином Ньютона, формула Муавра, уравнение. Maqolada keltirilgan ma’lumotlardan iqtidorli o’quvchilar o’z bilimlarini mustahkamlashda foydalanishlari mumkin. Ma’lumotlar asosan sinus va kosinus uchun sin  keltirilgan. Tangens va kotangenslarning xossalari quyidagi tg va  cos  6 9 c t g  c s o i s n munosabatlar yordamida sinus va kosinuslarning mos xossalaridan osongina keltirib chiqarilishi mumkin. 1. Kompleks sonlar. Asosiy ta'rif va tushunchalar. 1-ta’rif. z kompleks son deb 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ko‘rinishdagi ifodaga aytiladi, bunda 𝑥 va 𝑦 - haqiqiy sonlar 𝑖 esa 𝑖 = yoki 𝑖 2 = −1 (1) tenglik bilan aniqlanuvchi mavhum birlik deb ataluvchi birlik. 𝑥 va 𝑦 ni 𝑧 kompleks sonning haqiqiy va mavhum qismlari deyiladi va bunday belgilanadi: 𝑅𝑒𝑧 = 𝑥, 𝐼𝑚𝑧 = 𝑦 Xususiy holda, agar 𝑥 = 0 bo‘lsa, u holda 𝑧 = 0 + 𝑖𝑦 = 𝑖𝑦 sonni sof mavhum son, agar 𝑦 = 0 bo‘lsa, u holda 𝑧 = 𝑥 + 𝑖 ∙ 0 = 𝑥 , ya’ni haqiqiy son 2 hosil bo‘ladi. Shunday qilib, haqiqiy va mavhum sonlar 𝑧 kompleks sonning xususiy holidir. 2 - ta’rif. Agar ikkita 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 va 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 kompleks sonlarning haqiqiy 1 1 1 1 1 1 qismi alohida, mavhum qismi alohida teng bo‘lsa, bu kompleks sonlar teng, ya’ni 𝑧 1 International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2024 VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ = 𝑧 bo‘ladi, boshqacha aytganda 𝑅𝑒𝑧 = 𝑅𝑒𝑧 va 𝐼𝑚𝑧 = 𝐼𝑚𝑧 bo‘lsa, 𝑧 = 2 1 2 1 2 1 𝑧 hisoblanadi. 2 3-ta’rif. 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 kompleks sonning haqiqiy va mavhum qismi nolga teng bo‘lsagina, u nolga teng bo‘ladi, ya’ni agar 𝑥 = 0 va 𝑦 = 0 bo‘lsagina, 𝑧 = 0 va aksincha. 1-chizma. 4- ta’rif. Mavhum qismlari bilan farq qiluvchi ikkita 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 va 𝑧̅= 𝑥 − 𝑖𝑦 (2) kompleks son qo‘shma kompleks sonlar deyiladi. 5- ta’rif. Haqiqiy va mavhum qismlarning ishoralari bilan farq qiluvchi ikkita 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 va 𝑧 = −𝑥 − 𝑖𝑦 (3) 1 2 kompleks son qarama-qarshi kompleks sonlar deyiladi. 2. Kompleks sonning geometrik ta’sviri va trigonometrik shakli Har qanday 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 kompleks sonni 𝑂XY tekislikda X va Y koordinatali 𝐴(𝑥, 𝑦) nuqta shaklida tasvirlash mumkin va, aksincha, tekislikning har bir nuqtasiga kompleks son mos keladi. Kompleks sonlar tasvirlanadigan tekislik 𝑧 kompleks o‘zgaruvchining tekisligi deyiladi. Kompleks tekislikda z sonni tasvirlovchi nuqtani 𝑧 nuqta deb ataymiz (1- chizma). ОX o‘qda yotuvchi nuqtalarga haqiqiy sonlar mos keladi (bunda y=0), ОY o‘qda yotuvchi nuqtalar sof mavhum sonlarni tasvirlaydi (bu holda x=0). Shu sababli ОX o‘q haqiqiy o‘q. ОY o‘q mavhum o‘q deyiladi. А(x, у) nuqtani 3 koordinatalar boshi bilan birlashtirib ОА vektorni hosil qilamiz, bu ham z  x  iy kompleks sonning geometrik tasviri deyiladi. Koordinatalar boshini qutb deb, ОX o‘qning musbat yo‘nalishini qutb o‘qi deb kompleks tekislikda koordinatalarning qutb sistemasini kiritamiz.  va r larni А (x,y) nuqtaning qutb koordinatalari deymiz. A nuqtaning qutb radiusi r , ya’ni A nuqtadan qutbgacha bo‘lgan masofa 𝑧 kompleks sonning moduli deyiladi va z kabi belgilanadi. r  z  (4) ekani ravshan. 7 0 International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2024 VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ A nuqtaning qutb burchagi  ni 𝑧 kompleks sonning argumenti deyiladi va Аrgz kabi belgilanadi. Argument bir qiymatli aniqlanmay, balki 2k qo‘shiluvchi qadar aniqlikda aniqlanadi, bunda k –butun son. Argumentning hamma qiymatlari orasidan 0   2 tengsizliklarni qanoatlantiruvchi bittasini tanlaymiz. Bu qiymat bosh qiymat deyiladi va bunday belgilanadi: 𝜑 = 𝑎𝑟𝑔𝑧 (5) Ushbu (6) tengliklarni hisobga olib, 𝑧 kompleks sonni bunday ifodalash mumkin: z  x iy  r(cos  isin), (7) Yozuvning (7) shakli kompleks sonning trigonometrik shakli deyiladi. z  x  iy ko‘rinishdagi yozuv kompleks sonning algebraik shakli deyiladi. 4. Kompleks sonni darajaga ko‘tarish va ildizdan chiqarish Ko‘paytirish qoidasidan darajaga ko‘tarish qoidasi kelib chiqali. 𝑧 = 𝑟 ∙ (cos𝜑 + 𝑖 ∙ sin𝜑) uchun natural n da 𝑧n = 𝑟n ∙ (cos 𝑛𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝑛𝜑) ekani kelib chiqadi. Bu formula Muavr formulasi deyiladi. Bu formula kompleks sonni natural darajaga ko‘tarishda modul shu darajaga ko‘tarilishi, argument esa daraja ko‘rsatkichiga ko‘paytirilishi kerakligini ko‘rsatadi. 1-misol. Mavhum birlik i ning natural darajasi uchun formula toping. Yechish. 𝑖 1 = 𝑖, 𝑖2 = −1 , 𝑖3 = 𝑖 ∙ 𝑖2 = −𝑖 , 𝑖4 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 = , 𝑖5 = 𝑖 ∙ 𝑖4 = 𝑖 , 𝑖6 = 𝑖 ∙ 𝑖5 = 𝑖2 = −1 , 𝑖7 = 𝑖 ∙ 𝑖6 = −𝑖, 𝑖8 = 𝑖7 ∙ 𝑖 = −𝑖2 = 1. Umuman, 𝑖4k = 1 , 𝑖4k+1 = 𝑖 , 𝑖4k+2 = −1 , 𝑖4k+3 = −𝑖 2-misol sin va cos2 larni isbotlang Yechish. Isbotlashim