Модельное уравнение задач теории термоупругости в напряжениях

Аннотация

In the theory of thermoelasticity, problems are typically solved in terms of stress by introducing Airy’s stress functions. However, in this work, the problem of thermoelasticity is formulated and solved directly in terms of stresses in a spatial setting, without introducing any additional functions. The algorithm for the solution is also presented. Keywords: Beltrami-Mitchell equations, iteration, stress, stress function. МОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ТЕРМОУПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ Аннотация. В теории термоупругости задачи обычно решаются в напряжениях с введением функции напряжений Эри. Однако в данной работе задача теории термоупругости формулируется и решается непосредственно в напряжениях в пространственной постановке без введения каких-либо дополнительных функций. Также представлен алгоритм решения. 186 Современные проблемы интеллектуальных систем. Республиканская научно-практическая конференция. Джизак, 18-19 апреля 2025 г. Ключевые слова: уравнения Бельтрами-Митчелла, итерация, напряжение, функция напряжений. Odatda konstruksiyalar va ularning elementlarining deformatsiyalanish jarayoni termomexanik kuchlar ta’sirida sodir bo‘ladi va bu jarayon qattiq jismlarda issiqlik ajralishi hamda haroratning oshishi bilan kechadi. Issiqlik tarqalish jarayonini tasvirlovchi matematik model birinchi marta Dyugamel–Neyman ishlarida [4-7] ko‘rib chiqilgan bo‘lib, unda to‘liq deformatsiya elastik deformatsiya va termik kengayish deformatsiyasidan iborat deb hisoblangan. Deformatsiyalanadigan qattiq jismlarning termoelastiklik nazariyasi masalalari quyidagi ishlarda tadqiq etilgan [2-3]. Odatda, termoelastiklik masalalarini yechishda temperatura issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi yechimi sifatida ma’lum deb olinadi va haroratga bog‘liq o‘ng. Bunday masalalar bog‘lanmagan termoelastiklik masalalar deb ataladi. Bog‘lanmagan termoelastiklik nazariyasi chegaraviy masalalarini sonli yechimlariga misollar quyidagi ishlarda keltirilgan . Odatda, deformatsiyaning birgalikda bo‘lish shartlari doirasida tekis termoelastiklik nazaraiyasi masalalari Dügamel–Neyman munosabatlari yordamida Erining kuchlanish funksiyasi va haroratga nisbatan bigarmonik tenglamani yechishga keltiriladi [6]. Bunda T funksiya (harorat maydoni) issiqlik oqimi tenglamasi yechimi sifatida ma’lum deb olinadi. Kuchlanishdagi fazoviy termoelastiklik nazariyasi masalalari Filonenko-Borodich tomonidan ko‘rib chiqilgan [3]. Kuchlanishga nisbatan elastiklik nazariyasining chegaraviy masalalari yangi qo‘yilishda quyidagi ishlarda ko‘rib chiqilgan [2,4,5].Biz bu ishda temperaturani hisobga olgan holda Beltrami- Mitchell tenglamasi quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: 1  1 2  S (X  X ) X  2(T  2T). (1) ij 1 ,ij i,j j,i 1 k,k ij ,ij 1 ij Bu yerda  -kuchlanish tenzori, v / ()/ 2 -Puosson koeffsienti, , - Lame ij 2 parametrlari, X -Xajmiy kuchlar,  -символ Кронекера,  - Laplas operatori. i ij Agar yuqoridagi (1) tenglamada fazoviy masala sifatida qarasak va hajmiy kuchlar yo‘q bo‘lsa u holda u quyidagi ifoda keladi. 2 2 2 1v 2T 2T x  x  x  2 (  ), (2) x2 y2 z2 1v y2 z2 2 2 2 1v 2T 2T y  y  y  2 (  ), (3) x2 y2 z2 1v x2 z2 2 2 2 1v 2T 2T z  z  z  2 (  ), x2 y2 z2 1v x2 y2 (4) 2 2 2 1v 2T xy  xy  xy  2 , x2 y2 z2 1v xy (5) 2 2 2 1v 2T xz  xz  xz  2 , x2 y2 z2 1v xz (6) 2 2 2 1v 2T yz  yz  yz  2 . x2 y2 z2 1v yz (7) Bu (2-4)-tenglamalar uch o‘lchovli holatda Beltrami-Mitchell tenglamalarida temperaturani hisobga olingan holdagi tenglamalari.Chegaraviy shartlar esa quyidagicha 187 Современные проблемы интеллектуальных систем. Республиканская научно-практическая конференция. Джизак, 18-19 апреля 2025 г.  n  S , (8) ij j i (2-8) tengalamalar termoelastiklik nazariyasi masalasining klassik holatda qo‘yilishini ifodalaydi. Lekin yuqoridagi tenglamalarda chegaraviy shart yetarli bo‘lmaganligi uchun biz prof. Pobedrya tomonidan ishlarida taklif qilingan shartni olamiz. Ya’ni u shart quyidagicha ifodalanadi „Muvozanat tenglamasi soha ichida bajarilsa biz soha chegarasida ham muvozanat tengalamasini ishlatsak bo‘ladi“. Demak biz muvozanat tengalamasini chegaraviy shart sifatida soha chegarasida ko‘ramiz.   0, (9) ij,j (2-9) tenglamalar termoelastiklik nazariyasining fazoviy masalasini kuchlanishlarga nisbatan qo‘yilishini ifodalaydi. Bu tenglamalarni chekli ayirmali ko‘rinishga o‘tkazib iteratiya usulida yechamiz. Adabiyotlar ro‘yxati 1.Победря Б.Е., Шешенин С.В., Холматов Т. Задача в напряжениях. // Тошкент, Фан, 1988, C. 200. 2.Filonenko-Borodich, M. Theory of Elasticity. // Moscow.University Press Of the Pacific, p.396. 3.Муравлева, Л.В. Применение вариционных методов при решении пространственной задачи теории упругости в напряжениях. // Автореф. канд.дис-Москва. МГУ, 1987, c. 124. 4.Новацкий, В. Динамические задачи термоупругости. М: Мир, 1970. c. 256. 5.Коваленко, А. Д. Термоупругость. // Киев.: Висьщая школа., 1975. с.