Штурм –лиувилл оператори учун тескари масалани сонли усулда ечиш муаммолари

Аннотация

Ушбу мақолада аниқликда берилган ва хос қийматлар кетма-кетлиги ѐрдамида Штурм- Лиувилл оператори учун тескари масалани аниқликда ечиш, самарали ҳисоблашлар алгоритмини қуриш масаласи муҳокама қилинади. Калит сўзлар: Штурм-Лиувилл оператори, хос қиймат, хос функция, ҳисоблаш аниқлиги, алгоритм, Гельфанд-Левитан интеграл тенгламаси, Фредгольм тенгламаси, Тескари масала. Бизга қуйидаги (2) (3) чегаравий масалалар берилган бўлсин[1]. Агар (1)-(2) ва (1)-(3) чегаравий масалаларга мос келувчи , , , , ва хос қийматлар серияси берилган бўлса, (1)-(2) тенгламаларда қатнашаѐтган h, H, q(x) параметрлар ва y хос функцияни тўлиқ аниқлаш мумкин [1]. Бунда тескари масала кўринишидаги Гельфанд-Левитан интеграл тенгламасини ечишга келтирилади. Бу ерда 369 ) Қўйилган масала назарий жиҳатдан тўлиқ ечимини топган бўлсада, ҳисоблаш математикаси нуқтаи назаридан қаралганда ҳал қилинмаган кўплаб масалалар, талаблар келиб чиқади[2]. Шундан келиб чиқиб, ушбу мақолада чекли сондаги , , , ва хос қийматлар кетма-кетлиги берилганда (4)-(6) формулалардаги чексиз қатор ва чексиз кўпайтмаларни чекли кўринишга келтириш ѐки аналитик кўринишдаги функциялар билан алмаштириш, ҳисоблаш кетма-кетлигини самарали ташкил этиш орқали умумий хатолик дан ошмайдиган ечимни топиш масаласи қаралади. Шу мазмундаги ишларни, масалан, [2],[3] ишларида учратиш мумкин. Қўйилган масалани тўлиқ ечиш бир неча босқичдан иборат. I. Берилган ва кетма-кетликлар қийматлари асосида исталган N N лар учун икки қисмга ажратиб ѐзамиз. n>N бўлганда иккинчи қатордаги ўрнига (8) даги қийматини қўйиш орқали чексизликдан қутилиш мумкин. Баъзи элементар алмаштиришлардан сўнг иккинчи қатор қуйидаги чекли ифодага эга бўлади. Худди шундай (10) тенгликдаги биринчи йиғиндида қатнашаѐтган чексиз кўпайтмаларни ҳам (7), (7‘) формулалар ѐрдамида чекли ифода билан алмаштириш мумкин. Олинган натижани (9) га қўйиб h учун ихчам ҳисоблаш формуласига эга бўламиз. III. Бу босқичда (1) нинг ечимини 370 кўринишда излаймиз Ушбу тенгликни (1) қўйиш орқали ва номаълум функциялар учун қуйидаги реккурент формулаларини оламиз. Агар чекли сондаги ва хос қийматлар кетма кетлиги берилган бўлса (6), (7), (7‘), (8) асимптотик формулалар ѐрдамида барча (к=1,2,3, ...) ни тақрибан ҳисоблаш мумкин [2,3]. Иккинчи томондан Ўнг томонининг қийматлари аниқ бўлган ушбу формулага (11) бўйича берилган ни қўйиб учун тенгламалар сериясини ҳосил қиламиз. Баъзи элементар алмаштиришлардан сўнг тенглама кўринишга келади. Бу ерда лар аниқ кўринишга эга чегараланган функциялардир. Тенгламада номаълум функция интеграл тагида қатнашганлиги учун аниқ интегрални тақрибий ечиш усулидан фойдаланамиз. Бунинг учун [0; ] оралиқ N қисмга бўлинади ва (13) тенгламадаги интегралларни интеграл йиғинди билан алмаштирилади. Натижада ҳар хил N та лар учун га нисбатан N та алгебраик тенгламалар системаси ҳосил бўлади. Тенгламалар системасини бирор усулда ечиш орқали (1)-(2) чегаравий масаласидаги биз излаѐтга нинг 0; ] оралиқдаги сонли қийматларини аниқлаш мумкин. Юқорида тавсия қилинган ечимни топиш усулида бир жиҳатга эътибор қаратиш керак. Номаълумга нисбатан тенгламалар системаси сонини ошириш орқали тақрибий ечим аниқлигини исталганча ошириб бўлмайди. Бунга сабаб етарли катта дан бошлаб дан катта индексли тенгламалар ўзаро устма уст тушиб бошлайди. Бу эса тенгламалар сони билан номалумлар сони ўртасидаги фарқнинг ошишига олиб келади. Агар (9) тенгликнинг иккала тарафини 0 дан  гача бўлган оралиқда қўшиб чиқсак, га нисбатан I тур Фредгольм тенгламасини оламиз. Ушбу тенглама ядросининг хусусиятидан келиб чиқиб уни 2-тур Фредгольм тенгламасига ўтказиш мумкин. Бу тенгламани исталган юқори аниқликда ечиш мумкин. Ушбу ѐндашув юқоридаги камчиликни тўлиқ бартараф этади. IV. Ушбу босқичда H нинг қиймати аниқланади. Бунинг учун юқорида аниқланган нинг қийматларини (12) га қўйиш орқали ва лар қийматини, ва ўз 371 навбатида (11) ѐрдамида ни топамиз. Топилган нинг қийматини (2) га қўйиш ва нисбат орқали Н нинг қиймати топилади. Ушбу нисбатнинг мавжудлиги [1] да етарлича ўрганилган. Ушбу алгоритм бўйича Matlab дастурида (1)-(2) тескари масаланинг параметрларини тўлиқ аниқловчи ҳисоблаш дастури тузилган ва аниқ мисолларда таққослашлар ўтказилган. Фойдаланилган адабиѐтлар рўйхати: 1. Левитан Б.М. Сарксян И.С. Операторы Штурма – Лиувилля и Дирака.Москва (МГУ). 1984 г; 2. Аптекарев А.И. «Сходимость аппроксимаций Паде и совместных аппроксимаций для некоторого класса целых функций». Автореферат. 1983; 3. Абдуназаров Р. О численной решение обратной спектральной задачи для оператора Дирака..Журнал ―Вопросы вычислительной и прикладной математики‖. Выпуск 95. Ташкент 1993. Стр. 10-20. О МОДЕЛИ НЕГЛАДКО