Асимптотические результаты для статистик отношения правдоподобия и их использование в теории оценивания

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. Статистический анализ результатов многих научно-прикладных исследований, проводимых на мировом уровне, приводится к задачам изучения статистики отношения правдоподобия (СОП). Основная задача теории проверки гипотез состоит в проверке соответствия реальных экспериментов предполагаемой гипотезе на основе статистического критерия, т.е. процедуры, позволяющей принимать или отвергать данную гипотезу. Для проверки статистических гипотез существуют разнообразные точные или асимптотические критерии. Критерии основанные на СОП являются оптимальными по сравнению с другими критериями построенными на основе других статистик. Исследование асимптотических свойств СОП является одной из важнейших задач асимптотической теории оценивания и проверки гипотез. В годы независимости в нашей стране особое внимание уделяется фундаментальным наукам, имеющим прикладное применение, которые являются актуальными направлениями теории вероятностей и математической статистики, в частности, статистическому анализу неполных наблюдений. Вследствие этого получилось достигнуть значимых результатов в применении асимптотических свойств критериев хи-квадрат в моделях неполных наблюдений и свойства локальной асимптотической нормальности СОП. Было постановлено, что проведение научных исследований по главным направлениям «Теории вероятностей и математической статистики» на уровне международных стандартов является основной задачей и активным направлением1. Развитие асимптотической теории статистического оценивания, теории проверки гипотез и теории принятия решений играет важную роль в исполнении постановления. В настоящее время в мире исследования асимптотических свойств СОП в различных моделях неполных наблюдений и использование этих свойств в задачах теории оценивания и проверки статистических гипотез представляет большой интерес. В связи с этим исследование асимптотических свойств СОП в различных моделях случайного цензурирования; обобщенная статистика хи-квадрат, а также изучение асимптотических свойств этой статистики; оптимальное оценивание неизвестных параметров; нахождение предельных распределений статистических оценок байесовского типа и оценок максимального правдоподобия (ОМП). Научные исследования, проводимые в вышеупомянутых направлениях, подтверждают актуальность темы диссертации. Эта диссертация, в определенной степени, служит осуществлению задач, обозначенных в Постановлениях Президента Республики Узбекистан №-ПП-916 «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения инновационных проектов и технологий в производство» от 15 июля 2008 года, №-ПП-2789 «О мерах по дальнейшему совершенствованию деятельности Академии наук, организации, управления и финансирования научно-исследовательской деятельности» от 17 февраля 2017 года и №-УП-4947 «О стратегии действий по дальнейшему развитию Республики Узбекистан» от 8 февраля 2017 года а также в других нормативно-правовых актах по данной деятельности. Целью исследования является исследование асимптотических свойств СОП в различных моделях неполных наблюдений, получаемых различными типами цензурирования в моделях конкурирующих рисков (МКР). Научная новизна исследования состоит в следующем: доказан результат об аппроксимации СОП стохастическими интегралами от двухпараметрических винеровских процессов в МКР; доказано свойство ЛАН для СОП в МКР при гибридном цензурировании справа; используя методы теории сильной аппроксимации для эмпирических процессов в МКР при случайном, а также информативном цензурированиях с двух сторон, установлены асимптотические представления для СОП; доказаны свойства ЛАН и равномерная асимптотическая нормальность (РАН) для СОП в МКР при случайном цензурировании интервалом ненаблюдения; доказана асимптотическая минимаксная эффективность оценок максимального правдоподобия и байесовского типа; найдены предельные распределения обобщённых статистик типа хи-квадрат и СОП при случайном цензурировании с двух сторон. Заключение Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию асимптотических свойств СОП в различных моделях неполных наблюдений и использованию этих свойств в задачах теории оценивания и проверки статистических гипотез. По приведённым в диссертации результатам можно сделать вывод о том, что в ней: 1. Доказаны свойства ЛАН для СОП в МКР при случайном и гибридном цензурировании справа; 2. Установлен аппроксимационный вариант свойства ЛАН для СОП в МКР при случайном цензурировании с двух сторон интервалами наблюдения и ненаблюдения; 3. Установлен аппроксимационный вариант свойства ЛАН для СОП в МКР при информативном цензурировании с двух сторон; 4. Доказана асимптотическая эффективность оценок байесовского типа; 5. Найдены предельные распределения обобщённых статистик типа хи-квадрат и СОП.