MARKOV ZANJIRI VA UNING IJTIMOIY HAYOTDAGI O‘RNI

Аннотация

In this article, we will explore the basic concepts of the Markov chain, its relation to the Bernoulli scheme, and the transition matrix. We will also consider the importance of this theory in social life. Key words: Markov chain, Bernoulli scheme, dependent processes, transition matrix. ЦЕПЬ МАРКОВА И ЕЕ МЕСТО В ОБЩЕСТВЕННОЙ ЖИЗНИ Аннотация. В этой статье мы изучим основные понятия цепи Маркова, ее связь со схемой Бернулли и матрицей перехода. Мы также рассмотрим значение этой теории в общественной жизни. Ключевые слова: цепь Маркова, схема Бернулли, зависимые процессы, матрица переходов. Markov zanjiri — tasodifiy jarayonlarning bir turi bo‘lib, u o‘zgaruvchilar o‘rtasidagi bog‘lanishni o‘rganishga yordam beradi. Ushbu tushuncha 20-asrning boshida rus matematikasi Andrey Markov tomonidan ishlab chiqilgan. Markov zanjirlarining asosiy xususiyati shundaki, kelajakdagi holat, faqat hozirgi holatga bog‘liq bo‘lib, o‘tgan holatlar ta’sir qilmaydi. Markov zanjirlarini bog‘langan tajribalarning eng sodda ko‘rinishi sifatida ko‘rib chiqamiz. Faraz qilaylik, tajribalar ketma-ket o‘tkazilmoqda va har bir sinov natijasida birgalikda bo‘lmagan 𝐴 ,𝐴 ,…,𝐴 hodisalardan faqat bitta hodisa ro‘y berishi mumkin. Ushbu 1 2 𝑘 hodisalarning har birining yuz berishi, undan oldingi sinov natijalariga bog‘liqdir. Agar tayin sinovda har bir hodisaning yuz berish ehtimollari, undan oldingi sinov natijasi bilan bir qiymatli aniqlansa, bunday tajribalar ketma-ketligi Markov zanjiri deb ataladi. Bu holda, kelajakdagi hodisaning yuz berishi faqat hozirgi holatga bog‘liq bo‘lib, o‘tgan holatlar ta’sir qilmaydi. Endi shartli ehtimollarni qo‘sh indeks bilan ifodalash lozim bo‘ladi. Masalan, p belgi 14 7 02 A 4 hodisaning undan oldin sinovda A hodisa yuz berganda amalga oshishining shartli ehtimolini 1 bildiradi. Sistemaning i- holatdan j- holatga o‘tish ehtimolini o‘tish ehtimoli deb ataymiz. Oldingi terminlardan foydalanib, p ni oldingi sinovda ij A i hodisa yuz bergan holda keyingi sinovda A j hodisa yuz berishining shartli ehtimoli deb ayta olamiz. Markov zanjiri barcha mumkin bo‘lgan o‘tish ehtimollarining berilishi bilan to‘la tavsiflanadi. Bu ehtimollarni quyidagi k – tartibli kvadrat matritsa ko‘rinishda yozish tabiiydir: International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2024 VOLUME 3 / ISSUE 10 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ 7 03 P = p p ... p 1 1 1 2 1 k p p ... p 2 1 2 2 1 k ....................... p p ... p k 1 k 2 k k . bu matritsa o‘tish matritsasi deyiladi. Markov zanjirini matematik jihatdan ifodalashda o‘tish matritsasi muhim ahamiyatga ega. O‘tish matritsasi holatlar o‘rtasidagi o‘tish ehtimolliklarini o‘z ichiga oladi. Bu matritsada har bir qatorda hozirgi holat, ustunda esa kelajakdagi holat ko‘rsatilgan. O‘tish matritsasi yordamida holatlar o‘rtasidagi munosabatlar aniq va tezda tahlil qilinishi mumkin. Markov zanjirini to‘liq tavsiflash uchun birinchi sinovdagi turli natijalarning shartsiz ehtimollari ham berilishi zarur. Biroq ketma-ket sinovlar holatidagi ehtimollarga bu shartsiz ehtimollar emas, balki faqat o‘tish matritsasi orqali belgilangan shartli ehtimollar ta’sir qiladi. Bu holda, kelajakdagi holatlar hozirgi holatga bog‘liq bo‘lib, o‘tish ehtimolliklari orqali ifodalanadi. Shuning uchun, Markov zanjirining dinamikasi o‘tish matritsasining har bir elementi bilan belgilangan shartli ehtimolliklar asosida yuzaga keladi. Birinchi sinovdagi natijalarning shartsiz ehtimolliklaridan iborat B 0 = b b 0 0 0 1 2 3 vertikal matritsani kiritamiz O‘tish matritsasining elementlari qanoatlantirishi zarur bo‘lgan shartlarni osongina aniqlash mumkin. Avvalo, bu elementlarning hammasi 0  p ij  1 (1) tengsizliklarni qanoatlantirishi zarurligi ravshan. So‘ngra A 1 , A 2 , . . . , A k hodisalar har bir sinovda to‘la gruppa tashkil qilgani sababli matritsaning istalgan satridagi elementlar yig‘indisi 1 ga teng bo‘lishi lozim: k j= 1 p ij = 1 (i=1, 2, …,k) (2) aksincha, elementlari (1) va (2) shartlarni qanoatlantiruvchi har qanday matritsa biror Markov zanjirining o‘tish matritsasi bo‘la oladi. Markov zanjirida har bir sinovda hosil bo‘ladigan shartsiz ehtimolliklarni topamiz. B = PB 1 0 B = PB = PPB = P2B 2 1 0 0 B = PB = PPPB = P3B (3) 3 2 0 0 B = PB = PPPPB = P4B 4 3 0 0 B = PB = PP...PB = Pn−1B n n−1 0 0 Sinovlar soni ortishi bilan P n o‘tish matritsasi elementlari o‘zgarmas songa yaqinlasha boradi. Buni ushbu teoremada ko‘rish mumkin. Ehtimolliklar limiti haqida Markov teoremasi International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2024 VOLUME 3 / ISSUE 10 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ Markov teoremasi ehtimolliklar nazariyasida muhim rol o'ynaydi va u Markov zanjirlari va ularning konvergensiyasini o'rganish uchun qo'llaniladi. Ushbu teorema asosan Markov zanjirining uzoq muddatli xulq-atvorini tasvirlaydi Markov Teoremasi Markov teoremasi shuni ko'rsatadiki, agar {𝑋 } Markov zanjiri bo'lsa va u vaqt o'tishi 𝑛 bilan barqaror holatga kirsa, unda holat ehtimolliklari 𝑃(𝑋 =