Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса

Аннотация

Актуальность темы. Ряд вопросов, возникающих в спектральной теории дифференциальных операторов, приводит к исследованию спектра оператора. Цель работы. Построить псевдоспектр оператора D, построить спектр оператора D в частном случае V (x) = cos х. Показать, что в указанном случае псевдоспектр намного шире спектра, и не приближает его. Методы исследования. При построении псевдоспектр соответствующие его точкам псевдособственные функции предъявляются явно. Чтобы найти спектр оператора используется ВКБ асимптотика (приближение Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна) для матрицы монодромии изучаемой задачи. В настоящей работе исследуется спектр и псевдоспектр одномерного оператора Шредингера на окружности с комплексным (чисто мнимым) потенциалом, заданного формулой. Оказывается, точки спектра в квазиклассическом пределе могут быть вычислены из условий Бора-Зоммерфельда-Маслова, отвечающих римановой поверхности уровня энергии; однако, в отличие от самосопряженного случая, достаточно требовать выполнения этих условий хотя бы на одном из базисных циклов этой поверхности, причем разные циклы дают в спектр вклад, соответствующий разным ребрам спектрального графа.