Представление Вейерштрасса поверхностей в трехмерных группах Ли и его приложения

Аннотация

Актуальность темы. Представление Вейерштрасса (спинорное представление) поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве состоит в следующем. На скалярную функцию W1. В форме, использующей уравнение Дирака, это представление было переписано Ко-нопельченко2, использовавшим его для задания локальных солитонных деформаций поверхностей посредством модифицированного уравнения Веселова-Новикова. Цель работы. Нахождение аналога представления Вейерштрасса для поверхностей в группах Nil, SL2 и Sol. Изучение приложений такого представления для исследования поверхностей постоянной средней кривизны (в частности минимальных поверхностей) в этих группах.Методы исследований. В работе применяются теория представления Вейерштрасса и теория оператора Дирака. Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем. Получено представление Вейерштрасса поверхностей в группах Nil, SL2 и Sol, наделенных терстоновскими метриками и, в частности, получено представление минимальных поверхностей в этих группах. С помощью этого представления, выведены аналоги дифференциала Хопфа для поверхностей в группах Nil и SL2. Для поверхностей в Nil доказано, что дифференциал Хопфа голоморфен если и только если поверхность имеет постоянную среднюю кривизну.