Геометрические методы в получении и решении уравнений типа Монжа-Ампера на компактных и некомпактных многообразиях

Аннотация

Актуальность темы. Действительные уравнения типа Монжа - Ампера связаны с важнейшими проблемами геометрии: проблемой Минковского о нахождении выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной, проблемой Вейля о существовании замкнутой выпуклой поверхности с заданной метрикой, проблемой характеризации несобственных выпуклых аффинных сфер. К комплексному уравнению типа Монжа-Ампера приводит важнейшая в кэлеровой геометрии проблема Кала-би. Этими проблемами занимались А. Д. Александров, А. В. Погорелов, Е. Калаби, С. Т. Яу, Ш. Ш. Чжень и многие. Уравнения, содержащие смешанный дискриминант от гессиана неизвестной функции будем называть уравнениями Монжа-Ампера т -го порядка. В диссертации собраны результаты автора по геометрическим проблемам, приводящим к рассмотрению эллиптических уравнений типа Монжа-Ампера т -го порядка на многобразиях. Цель работы. Целями работы являются. Доказательство теоремы о существовании замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией ее условных радиусов кривизны. Доказательство существования кэлеровой метрики с заданной смешанной формой объема на компактных кэлеровых многообразиях положительной и нулевой голоморфной секционной кривизны. Исследование решений уравнений - аналогов уравнений несобственных аффинных сфер. Доказательство того, что класс уравнений, задающих несобственную аффинную сферу достаточно широк и не ограничивается простейшими уравнениями Монжа-Ампера.