Задачи об оптимальном соединении в пространствах компактов

Аннотация

Актуальность темы. Расстояние Хаусдорфа было введено в начале XX века Ф. Хаусдорфом и широко используется в различных прикладных областях, таких как распознавание образов, биология и финансовая математика. В процессе изучения свойств этих пространств с точки зрения схожести изображений возник вопрос о свойствах кратчайших в нем. Так, например, можно показать, что между каждой парой компактов в евклидовом пространстве существует кратчайшая в смысле Хаусдорфа и ее длина равняется расстоянию между точками, то есть, метрика Хаусдорфа является строго внутренней . Дальнейшее изучение кратчайших в этом пространстве показало, что практически для всех пар компактов в евклидовом пространстве существует бесконечное количество кратчайших, а случаи, когда число кратчайших конечно, подчиняются строгим законам. Более того, оказалось, что не существует такой пары компактов в евклидовом пространстве, что между ними существует ровно 19 кратчайших, а для любого числа от 1 до 36 кроме 19 такая пара компактов существует. Эти исследования были продолжены Хёнигс, ей было показано, что и 37 кратчайших быть не может.