ANALITIK GEOMETRIYADA IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR TALQINI

Аннотация

This article discusses the types of second-order surfaces and their analytical expressions. The main attention is paid to surfaces such as conus,ellipsoids, hyperboloids, and paraboloids. The equation, geometric shape, and graphical representation of each surface are analyzed. The article presents the classification of surfaces and methods for distinguishing them. The importance of such surfaces in practical problems, in particular their use in physics and engineering, is described. Examples are given for each surface, and an attempt is made to facilitate understanding through their graphical representations. The article is useful for students studying geometry and analytical geometry. It contains not only theoretical but also practical knowledge. Аннотация: В статье рассматриваются типы поверхностей второго порядка и их аналитические выражения. Основное внимание уделяется таким поверхностям, как сфера, конус, цилиндр, эллипсоид, гиперболоид и параболоид. Были проанализированы уравнение, геометрическая форма и графическое представление каждой поверхности. В статье представлена классификация поверхностей и методы их различения. Объясняется важность таких поверхностей в практических вопросах, в частности их применение в физике и технике. Для каждой поверхности приведены 73-son 1–to’plam Iyun-2025 Sahifa: 57 Ustozlar uchun pedagoglar.org примеры, и сделана попытка облегчить понимание с помощью их графических изображений. Статья полезна студентам, изучающим геометрию и аналитическую геометрию. Он включает в себя не только теоретические, но и практические знания. Kalit so’zlar: Sirt, dekart koordinatalar sistemasi, sirt tenglamasi, ikkinchi tartibli sirt, sfera, konus sirt, paraboloid silindr, bir pallali giperboloid, markaz, elliptik sirt, ellipsoid, paraboloid, ikki pallali giperboloid. Keywords: Surface, Cartesian coordinate system, surface equation, second-order surface, sphere, conical surface, paraboloid cylinder, single-shell hyperboloid, center, elliptical surface, ellipsoid, paraboloid, double-shell hyperboloid. Ключевые слова: Поверхность, декартова система координат, уравнение поверхности, поверхность второго порядка, сфера, коническая поверхность, параболоидный цилиндр, однослойный гиперболоид, центр, эллиптическая поверхность, эллипсоид, параболоид, двухслойный гиперболоид. Sirt va uning tenglamasi Berilgan to’g’ri burchakli dekart koordinatlari sistemasida koordinatalari F (x;y;z)=0 (1) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o’rni sirt deb ataladi. (1) ztenglama umuman sirt tenglamasi deb ataladi. Bu tenglama x, y, z o’zgaruvchilarning briga nisbatan yechiladi deb faraz qilamiz. Masalan, u tenglama z ga nisbata yechilishi mumkin bo’lsin, bu holda z=f (x,y) (2) deb yozish mumkin, bunda f (x,y) – x,y o’zgaruvchilarning funksiyasidir. Sirtga berilgan yuqoridagi ta’rifga ko’ra sirt tenglamasi deb uch o’zgaruvchili shunday f(x,y,z)=0 yoki z=f(x,y) tenglamaga aytiladiki, bu tenglamani sirtda yotgan har bir nuqtaning koordinatalari qanoatlantiraladi. Shunday qilib fazodagi nuqtalarning geometrik o’rni deb qaralgan har qanday sirt, bu nuqtalar koordinatalarini o’zaro bog’lovchi (1) tenglama bilan tasvirlanadi. Aksincha, x; y; z; o’zgaruvchilarni bog’lovchi har qanday (1) tenglama koordinatalari, bu tenglamani qanoatlantiradigan fazodagi nuqtalarning geometrik o’rnini, ya’ni sirtni aniqlaydi. Fazodagi sirtni tekshirish ikkita asosiy masalani tekshirishga olib kelinadi; 1. Fazodagi biror sirt o’zining umummiy xossasi bilan nuqtalarining geometrik o’rni, deb berilgan. Uning tenglamasini tuzish kerak. 73-son 1–to’plam Iyun-2025 Sahifa: 58 Ustozlar uchun pedagoglar.org 2. Fazodagi biror sirtning tenglamasi berilgan. Bu tenglama yordamida uning xossalarini va shaklini tekshirish kerak. To’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida o’zgaruvchi x; y; z koordinatalarga nisbatan ikkinchi darajali Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0 (3) algebraik tenglama bilan tasvirlangan sirtlar ikkinchi tartibli sirtlar deb ataladi. Bu tenglamada A, B, C, D, E, F koeffisentlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lishi kerak. Sfera Ma’lumki fazoda markaz deb ataluvchi 0 (x , y , z ) nuqtadan bir xil uzoqlikda 1 1 1 joylashgan nuqtalarning geometrik o’rni sfera deb ataladi. Markazdan sferagacha bo’lgan masofa uning radiusi deyiladi. Ta’rifga ko’ra 0(x ,y ,z ) nuqtadan sfera ustidagi ixtiyoriy 1 1 1 M (x, y, z) nuqtagacha bo’lgan masofa R radiusi bo’lib, u qo’yidagicha hisoblanadi:. R  (xx ) (у у )2 (zz )2 yoki (x-x )2+(y-y )2+(z-z )2=R2 (5). Endi (5) 1 1 1 1 2 1 1 tenglamada qavslarni ochamiz x2+y2+z2-2x x-2y y-2 z z+x 2+y 2+z 2-R2=0. Bu x, y, z 1 1 1 1 1 1 koordinatalarga nisbatan ikkinchi darajali tenglamadan iborat. Misol. x2+y2+z2-2x+4y+6z-2=0 tenglama sfera tenglamasi ekanligini isbotlang. Uning markazi va radiusini toping. Yechish. Berilgan tenglamaning chap tomonini qo’yidagicha shakl almashtiramiz: (x2-2x+1)+(y2+4y+4)+(z2+6z+9)-14-2=0 yoki (x-1)2+(y+2)2+(z+3)2=16. Bu esa markazi 0 (1; -2; -3) nuqta