GAMILTON SISTEMALARIDA BIRINCHI INTEGRAL

Аннотация

Hamiltonian systems play a significant role in modern physics and mathematical analysis, being widely used to describe the laws of motion in classical mechanics. The Hamiltonian approach is an advanced form of Lagrangian mechanics that determines the system’s evolution over time using phase variables (coordinates and momenta). The importance of Hamiltonian systems extends beyond mechanics, finding applications in quantum physics, theoretical astrophysics, statistical physics, and even economic modeling. Notably, the Hamiltonian formalism serves as a fundamental tool in the analysis of integrable systems, symmetries, and conservation laws [1–3]. 1 Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy universiteti Matematika fakulteti Geometriya va topologiya kafedrasi f-m.f.d., professori. 2 Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy universiteti Matematika fakulteti Geometriya va topologiya kafedrasi magistranti. 416 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 05, 2025. MAY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 Kirish. Bizga biror M sohada H - haqiqiy qiymatli funksiya berilgan va x m  nuqtani lokal koordinatalari   xx ,x ,...,x va V x vektor maydoni 1 2 m H i x i1 i berilgan bo‘lsin. Bu vektor maydonni ixtiyoriy F - silliq funksiyaga ta’sirini quyidagicha yozish mumkin [6]. 𝑚 𝑉 = ∑𝜉 (𝑥) = {𝐹,𝐻} 𝐻 𝑖 𝑖 𝑖=1 bundan i H i i m F H i x i1 i bo`ladi. Puasson qavsi xossasidan Hosil bo‘lgan tenglikni (1) tenglikka qo‘yamiz tenglikdagi {x ,x}=J (x) - matritsani hosil qiladi. Bu matritsa ko’rib i j ij turganimizdek bazislardan qurilgan mxm o`lchamli kososimmetrik matritsa bo‘ladi. Bu Puasson ko‘pxilligining strukturali matritsasi deyiladi [4-5, 7]. Strukturali matritsa bir qiymatli Puasson strukturasini aniqlaydi. tenglikni F va H funksiyalar gradienti orqali tasvirlasak, {F, H}=F∇J*∇H ga teng bo‘ladi. Asosiy qism. Bizga H funksiyaga mos keluvchi Gamilton sistemasining ko‘rinishi berilgan bo‘lsin 417 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 05, 2025. MAY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 dx  JxHx,t dt P(x,t) Ta’rif.1 Berilgan funksiya yuqoridagi Gamilton sistemaning birinchi integrali deyiladi, agar bu sistemasining ixtiyoriy yechimi uchun P  xt,t  const tenglik o‘rinli bo‘lsa. Masalan. Yuqorida ko‘rsatilgan y' x Sistema uchun 1 Hx,y  x2  y2 2 funksiya uning birinchi integrali bo‘ladi, chunki bu sistemani xt x cost y sint 0 0 0 sint y 0 cost Hx,y Yechimini funksiyaga ta’siri o‘zgarmas bo‘ladi ya’ni 1 H  xt,yt   x2  y2 const. 2 0 0 1 Sistema uchun Hx,y x2  y2 va H 1 x,y 2  x2  y2 funksiyalar uning birinchi integrali bo‘ladi. Teorema Berilgan P(x,t) funksiya vaqtga bog‘liq bo‘lmasa, u yuqoridagi gamilton sistemaning birinchi integrali bo‘ladi. Masala. Aytaylik, H(x,t) - Gamilton funksiya vaqtga bog‘liq bo‘lmagan H 2H , sistemaning birinchi integrali bo‘lsa, u holda t t2 va hokazolar birinchi integral bo‘lishini ko‘rsating. 418 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 05, 2025. MAY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 H  x2  y2 Yechim. funksiya y' x Sistema uchun birinchi integral chunki xt2x cost2y sint 0 0 0 sint2y 0 cost Hx,y Yechimi funksiyaga ta’siri o‘zgarmasdir, ya’ni H  xt,yt 4  x2  y2 const. 0 0 H  x2  y2 Demak, Sistema uchun birinchi integral bo‘ladi Huddi shunday x't2x sint2y cost 0 0  y't2x 0 sint2y 0 cost Hx,y Yechimni funksiyaga ta’siri o‘zgarmasdir, ya’ni H  x't,y't 4  x2  y2 const. 0 0 Hx,y Shunday qilib Gamiltonian vaqtga bog‘liq bo‘lmasa, u Gamilton H 2H , sistemaning ixtiyoriy t t2 va hokazolar ham teoremaga ko‘ra birinchi integrali bo‘ladi. Xulosa. Mazkur ishda Gamilton sistemalari va ularga mos birinchi integrallar tushunchasi matematik nuqtai nazardan tahlil qilindi. Gamilton sistemasi uchun berilgan funksiyaning birinchi integral bo‘lishi, ya’ni tizimning harakat trayektoriyasi davomida o‘zgarmas qiymatga ega bo‘lishi shartlari bayon etildi. Ish davomida vaqtga bog‘liq bo‘lmagan Gamilton funksiyalari asosida qurilgan sistemalar uchun ularning yuqori tartibli xosilalarining ham birinchi 419 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 05, 2025. MAY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 integrallar bo‘lishi matematik asoslar bilan isbotlandi. Bu esa Gamilton sistemalarining turg‘unlik, integrallanuvchanlik xossalarini chuqurroq tushunishga xizmat qiladi. Olingan natijalar fizik va texnik tizimlarning dinamikasini modellashtirishda, shuningdek, nazariy fizika, mexanika va differensial tenglamalarni integrallash sohalarida qo‘llanilishi mumkin. Ayniqsa, Gamilton yondashuvining fazoviy strukturani saqlab qoluvchi xususiyatlari ularni tahliliy va sonli metodlar yordamida tadqiq etishda muhim ahamiyat kasb etadi. Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati. 1. A.Ya. Narmanov, O.Yu. Qosimov, J