NOKORREKT VA TESKARI MASALALAR TAʼRIFI. NOKORREKT MASALA TUSHUNCHASI. NOKORREKT MASALALARGA MISOLLAR. TESKARI MASALA TAʼRIFI

Аннотация

This article explores the concepts of ill-posed (non-correct) and inverse problems, their mathematical properties, and practical examples. Based on Hadamardʼs criteria, the conditions for ill-posed problems are identified. The paper also discusses the applications of inverse problems in physics and engineering, and the regularization methods used to solve such problems. Keywords: ill-posed problem, inverse problem, Hadamard criterion, stability, regularization, integral equation, physical model. Аннотация. В данной статье рассматриваются понятия некорректных и обратных задач, их математические свойства и практические примеры. На основе критериев Адамара определяются условия некорректности задач. Также обсуждаются области применения обратных задач в физике и технике, а также методы регуляризации, используемые для их решения. Ключевые слова: некорректная задача, обратная задача, критерий Адамара, устойчивость, регуляризация, интегральное уравнение, физическая модель. 605 NEW RENAISSANCE 2025 MAY INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND PRACTICAL CONFERENCE VOLUME 2 | ISSUE 5 Zamonaviy matematik tahlil va hisoblash texnologiyalarida turli xil masalalar sinflarini aniqlash va ularni toʻgʻri yechish muhim ahamiyatga ega. Har qanday matematik masala yechimi uning mavjudligi, yagonaligi va barqarorligi bilan baholanadi. Ushbu xususiyatlar Xadamard tomonidan belgilab berilgan boʻlib, ular asosida masalaning korrekt yoki nokorrekt ekanligi aniqlanadi. Ayniqsa, amaliyotda uchraydigan koʻplab masalalar tahlil qilinganda, ular klassik korrekt masalalar emasligi aniqlanadi. Bunday masalalar “nokorrekt masalalar” deb yuritiladi. Shuningdek, ilmiy va texnik sohalarda keng qoʻllaniladigan teskari masalalar ham matematik modellashtirishda muhim oʻringa ega. Teskari masalalarda maʼlum natijadan kelib chiqib, boshlangʻich sabab yoki shart aniqlanadi. Bu esa masalaning noaniqligi va sezgirligiga olib keladi. Koʻp hollarda teskari masalalar ham nokorrekt boʻlib chiqadi va ularni yechish uchun maxsus usullar, xususan regularyalash metodlari qoʻllaniladi. Nokorrekt va teskari masalalar ta’rifi va ularga misollar. Fransuz matematigi J. Xadamard tomonidan kiritilgan tushunchaga ko‘ra, matematik masala korrekt deb atalishi uchun quyidagi uchta shart bajarilishi zarur: 1. Masalaning yechimi mavjud bo‘lishi; 2. Yechim yagonaligi (birxilligi); 3. Yechimning berilgan ma’lumotlarga nisbatan barqarorligi (ya’ni, kirishdagi kichik o‘zgarishlar yechimda ham kichik o‘zgarishlarga olib kelishi). Agar bu shartlardan kamida bittasi bajarilmasa, masala nokorrekt (yoki no‘rin, ya’ni ill- posed) masala hisoblanadi. Nokorrekt masalalarga misollar Teskari issiqlik o'tkazish masalasi. Issiqlik tenglamasi: Nokorrekt masalalarga misollar keltiramiz. Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi. 606 D  0 x , 0 t T   =     sohada 2u 2u + =0 x2 t2 Tenglamani va boshlang’ich u ( x , 0 ) ( x ) , u t t 0 ( x )   =  = = shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) garmonik funksiyani toppish talab qilinadi. Faraz qilaylik, (x)=0 va (x)esa NEW RENAISSANCE 2025 MAY INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND PRACTICAL CONFERENCE VOLUME 2 | ISSUE 5 1 (x)= sinnx n ko’rinishga ega bo’lsin, nϵN. U holda masalaning yechimini quyidagicha ifodalash mumkin. 607 u ( x , t ) = 1 n s i n ( n x ) g c h ( n t ) . Teskari masalada t=T da berilgan harorat u(x,T) dan boshlang‘ich holat u(x,0) tiklanadi. Bu masalada yechim mavjud bo‘lishi mumkin, ammo barqaror emas: kichik o‘lchov xatolari boshlang‘ich haroratda katta xatoliklar tug‘diradi. Fredgolm integral tenglamasi Ushbu tenglamaning yadro funksiyasi K(x,t) silliq bo‘lsa, masala odatda nokorrekt bo‘ladi. Bu tenglamalar signallarni filtratsiya qilish, tasvirni tiklash va boshqa sohalarda uchraydi. Geofizik zondlash yoki tomografiya. Tabiiy sathda o‘lchanadigan signallar orqali yerosti tuzilmalarini aniqlash. Bu yerda noaniq ma’lumotlardan aniq model olish kerak bo‘ladi, bu esa nokorrekt masalalarni keltirib chiqaradi. Teskari masala – bu fizik modelning natijalari (masalan, o‘lchovlar) asosida sababni yoki kirish parametrlarini aniqlash masalasidir. Aksariyat teskari masalalar nokorrekt bo‘ladi. Teskari masala – bu to‘g‘ri masalaning aksi bo‘lib, natijaviy ma’lumotlardan foydalangan holda tizimning kirish parametrlarini yoki ichki holatini aniqlashni ko‘zlaydi. To‘g‘ri masala: berilgan boshlang‘ich yoki chegara shartlari asosida yechimni topish. Teskari masala: yechim yoki natija ma’lum bo‘lib, undan boshlang‘ich shart yoki parametr tiklanadi. Teskari masalaga misollar 1. Tomografik tasvir olish. Ichki organlar tasvirini tashqi elektromagnit yoki rentgen nurlaridan qaytgan signal asosida tiklash. 2. Elektr qarshilikni aniqlash. Ob’ektga elektr toki yuboriladi, yuzadagi kuchlanish o‘lchanadi. Bu ma’lumotlar asosida ichki o‘zgaruvchan qarshilikni aniqlash – teskari masala. 3. Optik inversiya (astronomiya). Yulduzning tashqi nurlanishidan uning ichki haroratini va tarkibini aniqlash. Xulosa Nokorrekt va teskari masalalar zamonaviy matematik tahlil va a