BIRINCHI DARAJALI BIR NOMA’LUMLI TAQQOSLAMALARNING YECHIMLARI SONI HAQIDA TEORIMALARNING ISBOTI

Аннотация

В данной работе рассматривается количество решений линейных неравенств первой степени с одним неизвестным и их характер. Основное внимание уделяется общему виду таких неравенств и условиям, при которых они имеют бесконечно много решений. В работе неравенства решаются алгебраическим методом, и доказано, что множество решений всегда представляет собой интервал. В результате показано, что решения таких неравенств всегда образуют полуинтервал на числовой прямой. Данная работа будет полезна учащимся, изучающим основы алгебры и математической логики как с теоретической, так и с практической точки зрения. Annotation: This paper discusses the number and nature of solutions to first- degree linear inequalities with one variable. The main focus is on the general form of such inequalities and the conditions under which they have infinitely many solutions. The inequalities are solved using algebraic methods, and it is proven that the set of solutions always forms an interval. As a result, it is shown that the solutions to such inequalities always constitute a half-interval on the number line. This work is useful for students studying the fundamentals of algebra and mathematical logic, both theoretically and practically. Kalit so’zlar: Tengsizlik, Nomaʼlum, Yechim, To‘g‘ri chiziq, Intervallar Belgilar (>, 0, ax + b ≤ 0, yoki ax + b ≥ 0, bu yerda a ≠ 0. Quyida bu tengsizliklarning yechimlar soni haqida teorema va uning isboti keltiriladi: Teorema: Agar a ≠ 0 bo‘lsa, u holda birinchi darajali bir noma’lumli chiziqli tengsizlikning faqat bitta yechimlar sohasi bo‘ladi. Ya’ni, yechimlar to‘plami — haqiqiy sonlar to‘plamining biror yarimorali (intervali) bo‘ladi. Isbot: Quyidagi misol orqali umumiy teoremani isbotlaymiz. 1. Tengsizlik: ax + b ax x 0 => x > -b/a, agar a -b/a, bu a ning ishorasiga bog‘liq. Shunday qilib, yechimlar to‘plami – bu cheksiz ko‘p sonlardan iborat bo‘lgan biror ochiq interval. 2. Tengsizlik: ax + b > 0 uchun ham shunga o‘xshash natijaga kelamiz: x > -b/a, agar a > 0 x 0 Yechilishi: 2x > 6 x > 3 Yechimlar to‘plami: (3; +∞) — bu ochiq oraliq bo‘lib, barcha x > 3 qiymatlarni o‘z ichiga oladi. Grafik ko‘rinish: To‘g‘ri chiziq sonlar o‘qida 3 nuqtadan boshlab o‘ng tomonga chiziq chiziladi, 3 nuqta bo‘sh doira bilan belgilanadi (yechimga kirmaydi). 2-misol. https://scientific-jl.com 4 9 61-son_3-to’plam_May-2025 ISSN:3030- 3 6 1 3 T A D Q I Q O T L A R jahon ilmiy – metodik jurnali Tengsizlik: -3x + 9 ≤ 0 Yechilishi: -3x ≤ -9 x ≥ 3 (tengsizlik belgisi ishorani o‘zgartiradi, chunki -3 ga bo‘ldik) Yechimlar to‘plami: [3; +∞) — 3 dan katta yoki teng barcha sonlar. Grafik ko‘rinish: Sonlar o‘qida 3 nuqtadan boshlab o‘ng tomonga chiziq chiziladi, 3 nuqta qora doira bilan belgilanadi (yechimga kiradi). Xulosa: Birinchi darajali bir nomaʼlumli tengsizliklar algebra fanining asosiy bo‘limlaridan biri hisoblanadi. Ushbu turdagi tengsizliklar oddiy tuzilishga ega bo‘lishiga qaramay, ular matematikaning nazariy va amaliy yo‘nalishlarida muhim o‘rin egallaydi. Bu tengsizliklarning umumiy ko‘rinishi ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, yoki ax + b ≤ 0 shaklida bo‘lib, ularning har birini algebraik usullar yordamida oson yechish mumkin. Yechimlar har doim sonlar to‘plamining biror interval yoki yarimintervali bo‘lib, ular cheksiz ko‘p sonlarni o‘z ichiga oladi. Bu jihatdan tengsizliklar tenglamalarga nisbatan kengroq yechimlar to‘plamiga ega bo‘ladi. Tengsizliklarni yechishda ishoraning o‘zgarishi — eng muhim nazariy jihatlardan biridir. Ayniqsa, manfiy songa bo‘lishda tengsizlik belgisi teskari tomonga o‘zgarishi — o‘quvchilar tomonidan eng ko‘p xatoga yo‘l qo‘yiladigan nuqtalardan biridir. Shuning uchun bu qoidaga alohida e’tibor qaratish lozim. Birinchi darajali tengsizliklar: real hayotdagi masalalarni yechishda (masalan, xarajat va daromad chegaralarini belgilash), grafik tahlillar o‘tkazishda, shartli hisoblashlar va dasturlashda va matematik modellashtirishda keng qo‘llaniladi. Tengsizliklarning grafik tasviri esa ularning yechimlarini vizual ko‘rinishda ko‘rsatishga yordam beradi, bu esa o‘quvchilarda mavzuni to‘liq tushunish va mantiqiy fikrlashni shakllantiradi. Shu bilan birga, birinchi darajali tengsizliklar — yuqori darajadagi algebraik tengsizliklar, sistemalar va chiziqli dasturlash kabi murakkab ma