DAVRIY FUNKSIYALAR SINFIDA KAUPNING YUKLANGAN HADLI SISTEMASINI INTEGRALLASH

Аннотация

Ushbu maqolada yuklangan hadli nochiziqli differensial tenglamalarni davriy funksiyalar sinfida integrallash masalasi o'rganiladi. Tadqiqot obyekti sifatida Korteveg-de Friz, nochiziqli Shredinger va Kaup tenglamalari tanlangan. Tahlil davomida Floke yechimlari, Lyapunov funksiyasi, Dubrovin- Trubovits sistemasi, izlar formulalari hamda teskari spektral masala metodlari qo'llanilgan. Olingan natijalar orqali ushbu tenglamalarning davriy yechimlari aniqlangan bo‘lib, bu yondashuvlarning boshqa yuqori tartibli tenglamalarga nisbatan qo‘llanilishi taklif etiladi. Kalit so‘zlar: Yuklangan hadli tenglama, davriy funksiyalar, Korteveg-de Friz tenglamasi, nochiziqli Shredinger tenglamasi, Kaup sistemasining yechimlari, teskari spektral masala, Lyapunov funksiyasi, Floke yechimlari, Dubrovin-Trubovits sistemasi, izlar formulasi. Kaupning yuklangan hadli sistemasini  p  6pp  q (t) p  p  t x x x0 x (1) q  p  4qp  2pq (t) p q  t xxx x x x0 x ushbu p(x,t)  p (x), q(x,t)  q (x) (2) t0 0 t0 0 boshlang`ich shartlar bilan birga x bo`yicha  davrli p(x ,t)  p(x,t), q(x ,t)  q(x,t) (3) hamda ushbu p(x,t),q(x,t)C3(t 0)C1(t 0)C(t 0) (4) x t silliqlik shartlarini qanoatlantiruvchi haqiqiy funksiyalar sinfida ko`rib chiqamiz. Bu yerda (t) berilgan haqiqiy uzluksiz funksiya, p (x),q (x)C3(R) berilgan haqiqiy 0 0  davrli funksiyalar bo`lib, q (x)0. 0 Teorema 1. Agar p(x,t) va q(x,t) funksiyalar juftligi (1)-(4) masalaning yechimi bo`lsa, u holda koeffitsiyentlari p(x ,t) va q(x ,t) bo`lgan Shturm- Liuvill operatorlari kvadratik dastasining spektri  va t parametrlarga bog`liq https://scientific-jl.com 2 1 1 60-son_1-to’plam_Aprel-2025 ISSN:3030- 3 6 1 3 T A D Q I Q O T L A R jahon ilmiy – metodik jurnali bo`lmaydi, (,t), nZ \{0} spektral parametrlari esa quyidagi Dubrovin-Trubovits n sistemasini qanoatlantiradi: n 2(1)n (,t)sign(n) (  )( )  t n n 2n1 2n n h ()  2p(,t)2(,t)(t)p(0,t) , nZ \{0}. (5) n n Bu yerda (  )(  ) h ()  h (..., ,,...)  (  )( )  n 2k1 n 2k . n n 1 1 n 1 n 0 (  )2 kn,0 n k Bunda  (,t)1, nZ \{0} ishoralar (,t) spektral parametr [ , ] o`z n n 2n1 2n lakunasining chetiga kelganida qarama-qarshi ishoraga o`zgaradi. Bundan tashqari ushbu (,t) 0(),  (,t) 0(), nZ \{0} n t0 n n t0 n boshlang`ich shartlar ham bajariladi. Bu yerda 0(),0(), nZ \{0} lar p (x ) n n 0 va q (x ) koeffitsientlarga mos keluvchi spektral parametrlardir. 0 Isbot. Ushbu  yq(x,t)y 2p(x ,t)y 2y 0 (6) Shturm-Liuvill tenglamalarining kvadratik dastasi uchun qo`yilgan y(0) 0, y() 0 Dirixle masalasining  (,t), nZ \{0} xos qiymatlariga mos keluvchi n n normallangan xos funksiyalarni y (x,,t), nZ \{0} orqali belgilaymiz. n Ushbu (y,y )(qy ,y ) 2(py ,y )2 0 n n n n n n n n ayniyatni t bo`yicha differensiallab, quyidagi tenglikka ega bo`lamiz (y,y )(y,y )(q y qy ,y )(qy ,y ) n n n n t n n n n n  2(py ,y ) 2(p y  py ,y ) 2(py ,y )2 0. (7) n n n n t n n n n n n n n Bu yerda L (0,) fazoning skalyar ko`paytmasi ishlatildi. 2 Oxirgi tenglikni quyidagi tarzda yozib olamiz   y qy 2 py ,y     y qy 2 py ,y   n n n n n n n n n n  q y  2 p y ,y  2(py ,y )2 0, t n n t n n n n n n n 2[ (py ,y )] q y  2 p y ,y , n n n n t n n t n n ya’ni 2     py2dx (q  2 p )y2dx. (8) n n n t n t n 0 0 Ushbu https://scientific-jl.com 2 1 2 60-son_1-to’plam_Aprel-2025 ISSN:3030- 3 6 1 3 T A D Q I Q O T L A R jahon ilmiy – metodik jurnali p (x,t)6p(x,t)p (x,t)q (x,t)(t)p(0,t)p (x,t), t x x x q (x ,t) p (x,t)4q(x ,t)p (x ,t) t xxx x 2p(x ,t)q (x,t)(t)p(0,t)q (x,t) x x ayniyatlardan foydalanib, (8) tenglikni quyidagi tarzda yozib olamiz 2     py2dx {p  4qp  2pq (t)p(0,t)q  n n n xxx x x x 0 0  2[6pp q (t)p(0,t)p ]}y2dx. (9) n x x x n Integral ostidagi funksiyaning boshlang`ichini y va y ga nisbatan kvadratik forma n n ko`rinishida izlaymiz, ya’ni {ay2 by y cy2} n n n n {p 4qp 2pq (t)p(0,t)q  2[6pp q (t)p(0,t)p ]}y2. (10) xxx x x x n x x x n Bu yerda a a(x,,t,), bb(x,,t,), cc(x,,t,) lar y va y ga bog`liq n n n n n emas. (10) tenglik chap tomonidagi hosilalarni hisoblab, ushbu y [q  2p 2]y n n n n ayniyatlardan foydalansak, quyidagi tenglik hosil bo`ladi (abq 2bp b2)y2 (2a b 2cq  4pc 2c2)y y (bc)y2  n n n n n n n n {p 4qp 2pq (t)p(0,t)q  2[6pp q (t)p(0,t)p ]}y2. xxx x x x n x x x n (11) Bunga ko`ra 1 b  c, a  c c(2  2p q), 2 n n p 4qp 2pq (t)p(0,t)q 2[6pp q (t)p(0,t)p ] xxx x x x n x x x 1  c 2c(2  2p  q)c(2p  q). (12) 2 n n n Oxirgi tenglikning chap tomoni  ning chiziqli funksiyasi bo`lgani uchun o`ng tomoni n ham  ning chiziqli funksiyasi bo`lishi kerak. c(x,,t,) ni  ga nisbatan 1-darajali n n n ko`phad ko`rinishida izlaymiz: c(x,,t,)c (x,,t) c (x,,t). (13) n 0 n 1 (13) ifodani (12) tenglikk