EYLER VA FERMA TEOREMASIGA DOIR MISOL VA MASALALAR YECHISH

Аннотация

В этой статье дается краткое представление о теоремах Эйлера и ферма. Теорема Эйлера о городах (или теорема Эйлера о ходьбе) утверждает, что если в теории графов каждый узел имеет четное число степеней, то на этом графе есть путь, проходящий через каждую точку. С другой стороны, большая теорема Ферма доказывает, что для целых чисел больше 2 не существует целочисленного решения уравнения. В статье представлены математические детали этих теорем, различия между ними, а также их практическое значение на примерах и задачах. Теоремы Эйлера и ферма оказали влияние на различные области математики и до сих пор изучаются. Annotation:This article provides a brief insight into Euler's and Fermat's theorems. Euler's cities theorem (or Euler's walk theorem) states that in graph theory, if each node has an even number of degrees, then this graph contains a path that passes through each point. Fermat's great Theorem, however, proves that there is no integer solution to his equation for integers greater than 2. The article outlines the https://scientific-jl.com/ 1 4 7 42-son_3-to’plam_Aprel -2025 ISSN: 3030-3621 Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi mathematical details of these theorems, the differences between them, and their practical significance using examples and issues. Euler's and Fermat's theorems have influenced various areas of mathematics and are still studied today. Kalit so'zlar: Eyler teoremasi, Fermat teoremasi, graf nazariyasi, to'liq sonlar nazariyasi, Eyler yurishi, Fermatning Katta Teoremasi, matematik masalalar, raqamlar nazariyasi, graf, yo'l, butun sonlar. Ключевые слова: теорема Эйлера, теорема Ферма, теория графов, теория целых чисел, марш Эйлера, большая теорема Ферма, математические задачи, теория чисел, граф, путь, целые числа. Keywords: Euler's theorem, Fermat's theorem, graph theory, integer theory, Euler's walk, Fermat's great Theorem, mathematical problems, number theory, Graph, path, integers. Eyler va Fermat teoremasi yordamida misollar va masalalarni yechish uchun, avvalo bu teoremalarning qisqacha tushunchalarini keltirib o'tish mumkin. Ta’rif. Agar a va b butun sonlarni m natural songa bolganda bir xil qoldiq chiqsa, a va b sonlar m modul bo‘yicha taqqoslanadi deb aytiladi va a ≡ b ( mod m ) kabi belgilanadi. Ushbu maqolada taqqoslamaning ba‘zi xossalarini keltiramiz: 1 – xossa: Agar a va b sonlari m modul bo’yicha taqqoslansa, u holda a – b ayirma m natural songa qoldiqsiz bo‘linadi. Ya‘ni, a = mk + r, b = mn + r bo’lsa, a – b = mk – mn + 0, a – b = m(k – n ). 2 – xossa: Har biri c soni bilan taqqoslanadigan a va b sonlari bir – biri bilan ham taqqoslanadi. Ya‘ni a ≡ c (mod m) b ≡ c (mod m) bo‘lsa, u holda a ≡ b (mod m). 3 – xossa: Modullari bir xil bolgan taqqoslamalarni hadma – had qo‘shish mumkin. Ya‘ni, a ≡ b (mod m) va c ≡ d (mod m) bo‘lsa, u holda a + c ≡ b + d (mod m) o‘rinli bo‘ladi. Natija: Taqqoslamaning biror hadini bir tomonidan ikkinchi tomoniga qarama – qarshi ishora bilan olib o‘tish mumkin.Ya‘ni, a + c ≡ b (mod m) => a ≡ b – c (mod m) 4 – xossa: Taqqoslamaning ixtiyoriy tomoniga uning moduliga karrali bo‘lgan sonni qo‘shish mumkin.Ya‘ni, a ≡ b (mod m) => a + mk ≡ b (mod m) va a ≡ b + mn(mod m) 5 – xossa: Bir xil modulli taqqoslamalarni hadma – had ko‘paytirish mumkin. Ya‘ni, a ≡ b (mod m) va c ≡ d (mod m) bo‘lsa, u holda a ∗ c ≡ b ∗ d (mod m) o‘rinli bo‘ladi. Natija: Taqqoslamani darajaga oshirish mumkin. an ≡bn(mod m) o‘rinli https://scientific-jl.com/ 1 4 8 42-son_3-to’plam_Aprel -2025 ISSN: 3030-3621 Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi 6 – xossa: Taqqoslamaning har ikkala qismini biror butun songa ko‘paytirish mumkin. a ≡ b (mod m) => a ∗ k ≡ b ∗ k (mod m ) k ∈ Z 7 – xossa: Taqqoslamaning har ikkala qismini va modulini biror natural songa ko‘paytirish mumkin. a ≡ b (mod m ) => a ∗ n ≡ b ∗ n (mod m ∗ n) n ϵ N 8 – xossa: Taqqoslamaning har ikkala qismini ularning umumiy bo‘luvchilariga bo‘lish mumkin. a ∗ n ≡ b ∗ n (mod m) => a ≡ b (mod m) 9 - xossa: Agar a va b soni m1, m2, … mk sonlari bilan taqqoslansa, u holda ular EKUK bo‘yicha ham taqqoslanadi. 10 - xossa: Agar d soni m sonining bo‘luvchisi bo’lib a ≡ b (mod m) bo`lsa, u holda a ≡ b (mod d) o‘rinli bo‘ladi. a ≡ b (mod m) => a ∙ k ≡ b ∙ k (mod m ) k ∈ Z Ta’rif. Musbat sonlar ustida aniqlangan, hamda a soniga 1,2,3,4, … , a − 1 sonlar ichida a bilan o‘zaro tub bo‘lgan sonlar sonini mos qo‘yuvchi funksiya Eyler funksiyasi deyiladi va φ(a) kabi belgilanadi. Teorema (Eyler teoremasi). O‘zaro tub bo‘lgan va (m > 1) sonlari uchun quyidagi munosabat o‘rinli: a φ(m) ≡ 1(modm). Agar Eyler teoremasida 𝑚 soni o‘rniga biror 𝑝 tub olinsa, u holda a p−1 ≡ 1(modm) tenglikka kelamiz. [1],[2] Ushbu tenglikning ikkala tomonini a ga ko‘paytirsak, a p ≡ a(modm) tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglik Fermaning kichik teoremasi deyiladi. Matematika tarixida o'zining chuqur va ajoyib inshootlari bilan tanilgan ikkita muhim teorema – Eyler va Fermat teoremalari eng ko'p o'rganilgan va zamonaviy matematikada keng qo'llaniladigan natijalard