UCHINCHI VA TO‘RTINCHI DARAJALI TENGLAMALARNI YECHISHNING KARDANO VA FERRARI USULI

Аннотация

Studying these methods allows students to overcome common difficulties in solving third- and fourth-degree equations. This article analyzes the Cardano and Ferrari methods for solving third- and fourth-degree equations. Keywords: Cardano method, Ferrari method, polynomial, equation, remainder. Kardano usulining tarixi va bugungi kunda qo‘llanishi Kardano usulining tarixiy ahamiyati Kardano usuli matematikaning rivojlanishida muhim bosqich bo‘lib, u algebrik tenglamalarni umumiy holda yechish yo‘lidagi eng dastlabki aniq natijalardan biri hisoblanadi. Bu usulning tarixi XVI asrga, ya’ni Yevropa Uyg‘onish davriga borib taqaladi. 1. Kubik tenglamalar muammosi O‘rta asrlarda matematiklar kvadratik tenglamalar ( ) uchun aniq formulani bilishgan, lekin kubik tenglamalar ( ) uchun Выпуск журнала №-20 Часть–5_ Февраль –2025 56 MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT umumiy yechim yo‘q edi. Ushbu muammoni birinchi bo‘lib Skipione del Ferro hal qilgan, ammo u natijalarini oshkor qilmagan. Niccol`o Tartaglia bu yechimni qayta topgan va Jerolamo Kardano undan bu usulni o‘rganib, uni mashhur qilgan. 2. . "Ars Magna" va algebra rivoji 1545-yilda Jerolamo Kardano o‘zining "Ars Magna" ("Buyuk san’at") kitobida kubik tenglamalarning umumiy yechimini e’lon qildi. Bu usul algebra tarixidagi eng katta yutuqlardan biri bo‘ldi. Kardano kitobida shuningdek to‘rtinchi darajali tenglamalarni yechish usuli ham berilgan bo‘lib, bu usulni uning shogirdi Lodoviko Ferrari ishlab chiqqan. Bu natijalar algebra fanining rivojlanishiga katta turtki berdi. 3. Murakkab sonlarning paydo bo‘lishi Kardano usuli murakkab sonlar tushunchasining shakllanishiga sabab bo‘ldi. Ba’zi kubik tenglamalarning ildizlari kvadrat ildiz ichida manfiy sonlar bilan ifodalanadi. O‘sha davr matematiklari bu tushunchaga ehtiyotkorlik bilan yondashgan bo‘lsa-da, keyinchalik Rafaele Bombelli bu masalani o‘rganib, murakkab sonlarning rivojlanishiga yo‘l ochdi. Bugungi kunda Kardano usulining ahamiyati Hozirda Kardano usuli algebra va hisoblash matematikasining asosiy mavzularidan biri bo‘lib, u bir necha jihatdan qo‘llaniladi: 1. O‘quv jarayoni Kardano usuli universitetlarning algebra kurslarida kubik tenglamalarni yechish bo‘yicha asosiy mavzulardan biri sifatida o‘rgatiladi. Bu usul orqali talabalar an’anaviy algebraik metodlarni va matematik manipulyatsiyalarni yaxshi o‘zlashtirishadi. 2. Hisoblash matematikasi va algoritmlar Zamonaviy matematik dasturlar (Mathematica, MATLAB, Python va boshqa CAS (Computer Algebra Systems)) kubik tenglamalarni yechishda Kardano usulidan yoki uning asosida ishlab chiqilgan algoritmlardan foydalanadi. Ayrim hollarda kompyuter grafikasi va fizika simulyatsiyalarida kubik tenglamalar uchraydi va ular Kardano usuli yordamida tahlil qilinadi. 3. Muammoli sonlar va murakkab sonlar nazariyasi Kardano usuli orqali murakkab sonlarning dastlabki qo‘llanilishi yuzaga kelgan bo‘lib, u hozirda kvant fizikasi, elektromagnit nazariya va elektronika sohalarida muhim rol o‘ynaydi. Kubik Выпуск журнала №-20 Часть–5_ Февраль –2025 57 MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT tenglamalarning geometrik va fizik muammolarga tatbiqi (masalan, 2 qattiq jismlar mexanikasi yoki muvozanat masalalarida) bugungi kunda ham dolzarb. 4. Algebraik tenglamalarning umumiy nazariyasi Kubik va to‘rtinchi darajali tenglamalar formulalar orqali aniq yechimga ega, lekin beshinchi darajali va undan yuqori tenglamalar uchun bunday umumiy formulalar mavjud emas (Galois nazariyasi bo‘yicha). Shuning uchun, Kardano usuli algebraik tenglamalarni o‘rganishdagi eng so‘nggi nuqta emas, balki yanada chuqur tadqiqotlar uchun yo‘l ochgan. Xulosa Kardano usuli algebra tarixidagi inqilobiy natija bo‘lib, u matematik tenglamalarni yechish, murakkab sonlarni tushunish va algebraik strukturani rivojlantirishda katta rol o‘ynagan. Bugungi kunda ham bu usul o‘quv jarayonida, hisoblash matematikasida va algebraik nazariyalarda o‘z ahamiyatini saqlab qolmoqda. Uchinchi darajali tenglamani yechishda Kardano usuli Kardano usulida uchinchi darajali tenglamani yechishda o‘zgartirish kiritish orqali soddalashtirish ya’ni aniqroq qilib aytganda o‘zgaruvchi kiritish orqali ikkinchi darajali hadni yo‘q qilish. Bu orqali ishimiz osonlashadi. ax3 + bx2 + cx + a = 0 (1) x2 hadni yo‘q qilish maqsadida x = y − b almashtirish bajaramiz. Hosil 3 bo‘lgan : (y − b ) 3 + b(y − b ) 2 + c(y − b ) + d = 0 tenglamani 3 3 3 b2 bc 2b2 soddalashtirish orqali y3 +(c − )y + d − + = 0 hosil bo‘ladi. 3 3 27 b bc 2b2̂ Endi, quyidagi p = c − , q = d − + belgilashni kiritamiz. Natijada 3 3 27 y3 + py + q = 0 (2) tenglama hosil bo‘ladi. Demak, biz (2) tenglamani yechish orqali (1) tenglama yechimini topa olamiz. y = u + v belgilash kiritamiz. Bu belgilashni (2) tenglamaga olib borib qo‘yamiz, va: Выпуск журнала №-20 Часть–5_ Февраль –2025 58 MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT y3+ (3uv + p)(u + v) + q = 0 tenglik hosil bo‘ladi. Agar u + v + q = 0 va 3uv + p = 0 bo‘lsa, y = v + u soni y3+ py + q = 0 tenglamaning yechimi bo‘la oladi. Demak u3+