TÓRTINCHI TARTIBLI TENGLAMA UCHUN BIR CHEGARAVIY MASALANING YECHILISHI

Аннотация

Maqolada tórtinchi tartibli tartibli xususiy xosilali differencial tenglama uchun tórtburchakli sohada bir aralash-chegaraviy masala kórib chiqildi. Masala yechimining mavjudligi va yagonaligi kórsatildi. Masala yechimini topish uchun ózgaruvchilarni ajratish usuli qóllanildi. Masala yechimi xususiy funkciyalar bóyicha qatorga yiǵib topildi. Yechimning yagonaligi ortonormallangan sistemaning tóliqligidan foydalanib kórsatildi. Kalit sózlar: boshlanǵich-chegaraviy masala, ózgaruvchilarni ajratish usuli, yechimning yagonaligi, mavjudligi, xususiy qiymatlar va funkciyalar. Kirish: Geofizikaning, okeanologiyaning birqancha masalalari, texnikada kriogen suyuqliklarni shuningdek, stratificirlangan suyuqliklarni foydalanish masalalari, elastiklik teoriyasining masalalari, bir jinsli sterejenning yoki balkaning tebranish tenglamasi tórtinchi tartbli xususiy xosilali differencial tenglamalar uchun qóyilgan chegaraviy, boshlanǵich-chegaraviy masalalarni yechishga keltiriladi. Tórtburchakli sohada tórtinchi tartibli xususiy xosilali differencial tenglamalar uchun qóyilgan masalalar M.M. Smirnovning[10], T.D. Djuraevning va A. Sopuevning[6], K.B. Sabitovning [8-9], A.Berdishevning va B.J. Kadirkulovning[4], Ya. Megralievning [7], D. Amanovning[1-2], T. Yuldashovning[12], A.Urinovning[11], Yu. Apakovning[3] va h.k. ishlarida qaralgan. [10] monografiyasida tórtinchi tártibli xususiy xosilali differencial tenglamalarning tóliq klassifikaciyasi va u tenglamalar uchun qóyilgan masalalarni yechish qaralgan. [5] ishda tórtinchi tartibli tenglamalar uchun bir chegaraviy masala qaralgan. Masalaning qóyilishi (x,y):0 x p,0t  sohada U U 0 (1) ttt xxxx tenglamani kóramiz, bu yerda p,TR. Masala 1.  sohada (1) tenglamaning quyidagi u 0, u 0, u 0, u 0, 0 x  p (2) x0 xp xx x0 xx xp https://scientific-jl.com/ped 2 99 Volume-80, Issue-1, April -2025 “PEDAGOGS” international research journal ISSN: 2181-3027_SJIF: 5.449 u (x) u (x) u (x) 0t  (3) t0 t t t chegaraviy shartlarni qanoatlandiradigan 4,3 2,1 u(x,y)C ()C () x,t x,t sinfga tegishli yechimini izlaymiz, bunda (x),i 1,3 yetarlicha silliq i funkciyalar va (4) (0)(p) 0, 2. Masala yechimining mavjudligi Masalaning yechimga ega ekanligini isbotlaymiz: (1) tenglamaning (2) chegaraviy shartlarni qanoatlandiradigan trivial bólmagan yechimini u(x,y)  X(x)U(t). (5) kórinishida izlaymiz. (5) ni (1) tenglamaga qóyish va ózgaruvchilarni ajratish orqali X(x) va U(t) funkciyalar uchun quyidagi differencial tenglamalarga ega bólamiz: (4) 4 (6) X (x) X(x)0 (3) 4 (7) U (t) U (t)0 k k k 4 bunda  ózgarmas. (2) chegaraviy shartlarni hisobga olgan holda (6) tenglama uchun quyidagi masalaga ega bólamiz: X (4) (x) 4 X(x)0 (8)  X(0) X(p) X(0) X(p)0 (8) masala trivial bólmagan yechimga ega bóladi, bunda 4 4  , n 1,2,3,... . k    p  Bu sonlar (8) masalaning xususiy qiymatlari deyiladi va ularga mos keladigan normalangan xususiy funkciyalar quyidagi kórinishda bóladi: 2 k X (x) sin x. k (9) p p (7) ning bir jinsli yechimi 1 t  3   3  U (t)a e  k t e2 k b cos tc sin t k k  k 2 k k 2 k  https://scientific-jl.com/ped 3 00 Volume-80, Issue-1, April -2025 “PEDAGOGS” international research journal ISSN: 2181-3027_SJIF: 5.449 4/3 kórinishida bóladi, bunda  k  3 k 4    , nN va a k ,b k ,c k - hozircha  p  nomalum ózgarmaslar. Ózgarmaslarni variaciyalash usulidan foydalanib yechimni 1 t  3   3  U k (t)a k (t)e  k t e2 k   b k (t)cos 2  k tc k (t)sin 2  k t  , (10) kórinishida izlaymiz. (1) tenglamaning umumiy yechimi 2   1 t  3   3  k u(x,y)  a (t)e  k t e2 k b (t)cos  tc (t)sin  tsin x (11) p  k  k 2 k k 2 k  p qator kórinishida bóladi. a (t),b (t), c (t) funkciyalarni topish uchun (10) k k k tengliktan 3 marta xosila olib (1) tenglamaga qóyamiz va quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bólamiz: 1 t  3 3  a' (t)e k t e2 k b' (t)cos t c' (t)sin t 0 k k 2 k k 2 k 1 t 1 3 3 3  a' (t)e k t e2 k  cos t  sin tb' (t) k  2 2 k 2 2 k k 1 3 3 3    sin t  cos tc' (t)0 2 2 k 2 2 k k  1 t  1 3 3 3  a' (t)e k t e2 k  cos t  sin tb'(t) k  2 2 k 2 2 k k  1 3 3 3    sin t  cos tc' (t)0 2 2 k 2 2 k k  ' ' ' Bu sistemani yechish orqali a (t), b (t), c (t) lar uchun k k k a' (t)b'(t)c' (t)0 k k k tengliklarga ega bólamiz. Endi bularni integrallash orqali a (t),b (t), c (t) k k k funkciyalarni topamiz: a (t)a b (t)b c (t)c k k k k k k Bu topilganlarni (10) tenglikka qóyish orqali 1 t  3   3  U k (t)a k e  k t e2 k   b k cos 2  k tc k sin 2  k t  , (12) yechimga ega bólamiz. Bunda a ,b ,c -hozircha nomalum ózgarmaslar. k k k a ,b , c ózgarmaslarni topish uchun (3) shartlardan foydalanamiz. (3) shartlardan k k k https://scientific-jl.com/ped 3 01 Volume-80, Issue-1, April -2025 “PEDAGOGS” international research journal ISSN: 2181-3027_SJIF: 5.449 U (0) , U ()  , U ()  k k k k k