SIRKUL VA CHIZG’ICH YORDAMIDA YECHILMAYDIGAN KLASSIK MASALALAR

Аннотация

Ushbu kurs ishida antik davrda shakllangan va zamonaviy matematikada katta ahamiyat kasb etgan sirkul va chizgʻich yordamida yechilmaydigan klassik masalalar tahlil qilingan. Geometriya tarixida yuzaga kelgan asosiy uchta muammo - kubni ikki barobar oshirish, burchakni uchga boʻlish va doira kvadraturasi muammolari haqida keng maʼlumot berilgan. Shuningdek, bu masalalarning tarixiy rivojlanishi, yechim imkoniyatlari va ularning imkonsizligi zamirida yotgan asosiy matematik tushunchalar, masalan, algebraik sonlar va konstruksiya nazariyasining o‘rni tahlil etilgan. Ishda Galois nazariyasi va u bilan bogʻliq isbotlar ham koʻrib chiqilgan. Kalit soʻzlar: Geometriya, klassik masalalar, sirkul va chizgʻich, Galois nazariyasi, algebraik sonlar, konstruksiya, kvadratura, burchak uchga boʻlish, kubni ikki baravar qilish. Qadimiy yunon matematiklari tomonidan boshlangan klassik geometriya bugungi kungacha saqlanib qolgan fundamental yo‘nalishlardan biridir. Evklidning mashhur asari - Elementlar (Miloddan avvalgi III asr) - geometriya fanining asosiy poydevorini yaratdi. Bu asarda sirkul va chizg‘ich yordamida bajariladigan geometrik konstruksiyalar orqali ko‘plab muhim natijalar isbotlangan. Antik matematiklar fikricha, ushbu ikkita oddiy vosita yordamida har qanday geometrik masalani yechish mumkin bo‘lgan. Shunga qaramay, miloddan avvalgi V–IV asrlarda uchta muhim muammo shakllandi, ular ming yillar davomida matematiklar ongini band etib keldi. Bular quyidagilardan iborat: Kubni ikki baravar qilish (Delian masalasi): berilgan kubning hajmini ikki barobar oshiradigan yangi kub yasash; Burchakni uchga bo‘lish: ixtiyoriy burchakni teng uch qismga ajratish; Doirani kvadratlarga aylantirish (kvadraturasi): doira yuzasiga teng yuzali kvadrat yasash. Ushbu masalalar o‘z davrida diniy, falsafiy va ilmiy ma’noga ega bo‘lgan. Masalan, Delian masalasi yunonlar orasida Apollo xudosi g‘azabini tinchlantirish uchun geometrik echim topish zarurati bilan bog‘liq edi. Har bir masala 24 THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF PEDAGOGICAL SCIENCES International scientific-online conference soddadek tuyulsa-da, ularning umumiy holda sirkul va chizg‘ich yordamida yechilmasligi bugungi kungacha o‘z ilmiy qiymatini yo‘qotmagan. Antik davrda bu muammolarga ko‘plab urinishlar qilingan. Platon, Arximed, Hipokrat kabi buyuk allomalar ularni echishga harakat qilishgan. Lekin faqat XIX asrga kelib, algebra va Galois nazariyasi rivojlanishi natijasida bu masalalarning imkonsizligi qat’iy isbotlandi. Bu isbotlar sonlar nazariyasi, algebraik va tranzendental sonlar haqidagi chuqur bilimlarga asoslangan. Ushbu maqolada mazkur uchta masalaning har biri alohida ko‘rib chiqilib, ularning sirkul va chizg‘ich yordamida nima sababdan umumiy holda yechilmasligi zamonaviy matematik asoslar bilan izohlanadi. Shuningdek, bu muammolar orqali matematikaning turli sohalari-algebra, analitik geometriya, va sonlar nazariyasi-o‘zaro qanday bog‘lanishini ham kuzatamiz. USLUB Mazkur ilmiy maqolada klassik geometrik masalalarning sirkul va chizg‘ich yordamida umumiy holda yechilmasligini asoslash uchun quyidagi matematik yondashuvlar va metodlar qo‘llanildi. Sirkul va chizg‘ich yordamida bajariladigan konstruksiyalar Evklid geometriyasida quyidagi asosiy operatsiyalar orqali ifodalanadi: Berilgan ikkita nuqtani birlashtirish (to‘g‘ri chiziq chizish), Berilgan markaz va radius asosida aylana chizish, Chiziq va aylana, ikki aylana yoki ikki chiziq kesishgan nuqtani aniqlash. Bu operatsiyalar orqali yaratiladigan nuqtalar to‘plami faqat kvadrat ildizlar va to‘g‘ri bog‘liqliklar orqali ifodalanadigan sonlarni qamrab oladi. Bunday konstruksiyalar natijasida hosil bo‘ladigan nuqtalar koordinatalari kvadratik kengaytmalar orqali ifodalanadi. Geometrik konstruksiyalarni algebraik jihatdan tahlil qilishda asosiy rolni quyidagilar o‘ynaydi: -Konstruksiya sonlari: sirkul va chizg‘ich yordamida qurilishi mumkin bo‘lgan nuqtalarning koordinatalari algebraik sonlar bo‘lib, ular ketma-ket kvadratik ildizlar orqali olinadi. -Galois nazariyasi yordamida, bunday sonlarning daraja kengaytmalari 3 ustida tahlil olib boriladi. Masalan, kubni ikki barobar qilishda √2 kabi kub ildizlar paydo bo‘ladi, bu esa kvadratik kengaytmalar orqali ifodalanmaydi. -Doirani kvadratlashda esa 𝜋 soni paydo bo‘ladi, u esa tranzendental son bo‘lib, hech qanday algebraik tenglamaning ildizi emas. 25 THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF PEDAGOGICAL SCIENCES International scientific-online conference Har bir masalaning yechilmasligi Galois nazariyasi va algebraik sonlar nazariyasiga tayanadi. Masalan: 1. Kubni ikki baravar qilish: 3 √2 soni kvadratik ildizlar orqali ifodalanmaydi. 𝜃 2. Burchakni uchga bo‘lish: cos( ) ko‘pincha uchinchi darajali 3 tenglamani qanoatlantiradi. 3. Doirani kvadratlash: 𝜋 ning konstruksiya soni emasligi, uning tranzendental ekanligi (Lindemann – 1882). Har bir masalaga oid klassik chizma sirkul va chizg‘ich yordamida tasvirlanadi. Shuningdek, ularning algebraik ifodalari grafig