TEKISLIKDA TO‘G‘RI CHIZIQ VA UNING TENGLAMALARI

Аннотация

Ushbu ishda tekislikdagi to‘g‘ri chiziq va uning analitik tenglamalari o‘rganiladi. Asosiy e’tibor to‘g‘ri chiziqning umumiy, nishab-koordinata va kesmalar orqali ifodalanadigan tenglamalariga, ularning grafigi va geometrik mazmuniga qaratilgan. Shuningdek, ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak, ular orasidagi masofa va parallel yoki perpendikulyar holatdagi chiziqlarni aniqlash usullari ko‘rib chiqilgan. Mavzu nazariy va amaliy jihatdan chuqur tahlil qilinadi va real hayotdagi masalalarda qo‘llanilishi yoritiladi.. Kalit so‘zlar: tekislikda chiziq va uning tenglamasi, burchak koeffitsiyent, to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi, to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi, to‘g‘ri chiziqning o‘qlardan ajratgan kesmalarga nisbatan tenglamasi, berilgan bitta nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar tenglamasi. Kirish. Analitik geometriyaning eng muhim tushunchalaridan biri, chiziq tenglamasi tushunchasidir. Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatlar sistemasida 118 L chiziq berilgan bo‘lsin(4-chizma). Ta’rif. L chiziqda yotuvchi istalgan M x , y nuqtaning koordinatlari F x , y  0 (1) tenglamani qanoatlantirib, unda yotmagan nuqtalarning koordinatlari qanoatlantirmasa, bu tenglama L chiziqning tenglamasi deyiladi. Bundan L chiziq, koordinatlari (1) tenglamani qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to‘plamidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Chiziqning tenglamasini tuzish deganda unga tegishli ixtiyoriy M ( x , y ) nuqtaning koordinatlari orasidagi munosabatni(bog‘lanishni) tenglama ko‘rinishida ifodalashdan iborat. Topilgan chiziq tenglamasi uchun: chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatlari uni qanoatlantiradi va aksincha, nuqtaning koordinatlari tenglamani qanoatlantirsa, bu nuqta shu chiziqda yotadi. Tahlil va natijalar. To‘g‘ri chiziq tushunchasi analitik geometriyaning asosiy tushunchalaridan biridir. Quyida har xil holatlarda to‘g‘ri chiziqning analitik ifodalarini (tenglamalarini) keltirib chiqaramiz va ular yordamida to‘g‘ri chiziqning tekislikdagi vaziyatlarini o‘rganamiz. 1) To‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi. To‘g‘ri chiziqning O X o‘qi musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchagi va to‘g‘ri chiziqning ordinatlar o‘qidan ajratgan b kesmasining kattaligi berilganda, uning tekislikdagi holati aniq bo‘ladi. Masalan, b  3 , 1250 bo‘lsa, uning holati aniq bo‘ladi (2-chizma). 1-chizma 2-chizma 3-chizma Yuqoridagi miqdorlar berilganda to‘g‘ri chiziqning tenglamasini keltirib chiqaramiz. 119 M x , y to‘g‘ri chiziqqa tegishli ixtiyoriy nuqta bo‘lsin (3-chizma). A M B to‘g‘ri burchakli uchburchakdan B A M B  t g , bundan B M  A B t g 6–chizmadan y  B C  B M ; yoki y  A B t g  b  , A B  x bo‘lganligi uchun y  xtgb  bo‘ladi. t g to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti deyiladi va t g  k  bilan belgilaymiz. Shunday qilib, y  k x  b (2) munosabat kelib chiqadi. Bunga to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi b  0 deyiladi. bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq koordinatlar boshidan o‘tib, tenglamasi y  k x bo‘ladi. k  1 y  x bo‘lsa, bo‘lib, bu birinchi koordinat- lar burchagining bissektrisasi bo‘ladi. 1-misol. O X o‘qi bilan 1 2 0 0 burchak hosil qiluvchi va O Y o‘qini A ( 0 ; 3 ) nuqtada kesib o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni yasang va uning tenglamasini yozing. Yechish. Shartga ko‘ra, to‘g‘ri chiziq O Y o‘qini A ( 0 ; 3 ) nuqtada kesib o‘tadi, demak b  3 . Bu nuqtadan O X o‘qiga parallel chiziq o‘tkazamiz, hamda shu to‘g‘ri chiziq bilan 1 2 0 0 burchak hosil qiluvchi tomon, yasalishi kerak bo‘lgan to‘g‘ri chiziq bo‘ladi . Endi shu to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozamiz. Bu holda k  tg 1200   3, b  3 bo‘lganligi uchun, y   3 x  3 to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi bo‘ladi. A x ,x B x ; y Berilgan ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi. 1 1 , 2 2 nuqtalar berilgan bo‘lsin. y  k x  b (3) to‘g‘ri chiziq A y y y y M L 3 b A nuqtadan o‘tsin. Bu holda nuqtaning koordinatlari to‘g‘ri chiziq y  kx b tenglamasini qanoatlantiradi, ya’ni 1 1 bo‘ladi. (3) tenglikdan oxirgi tenglikni ayirsak:  1 2 5 0 B  A O x O x O C x 120 y  y 1  k x  x 1 (4) hosil bo‘ladi. (4) tenglamaga berilgan bitta nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar dastasining tenglamasi deyiladi. B x ; y To‘g‘ri chiziq 2 2 ikkinchi nuqtadan ham o‘tsa, y 2  y 1  k x 2  x 1 bo‘lib, k  y x 2 2 y x 1 1 bo‘ladi. k ning yuqoridagi qiymatini (4)ga qo‘yib, y y 2 y 1 y 1 x x 2 x 1 x 1 (5) tenglamani hosil qilamiz. (5) berilgan ikki A ( x 1 , y 1 ) B(x , y ) va 2 2 nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi deyiladi. 2-misol. Biror xil mahsulotdan 100 donasini ishlab chiqarishga 300 ming so‘m harajat qilinsin. 500 donasi uchun esa harajat 1300 ming so‘m bo‘lsin. Harajat funksiyasi chiziqli (to‘g‘ri chiziq) bo‘lsa, shu mahsulotdan 400 dona ishlab chiqarish harajatini toping. Yechish. Masala sharti bo‘yicha A ( 1 0 0 , 3 0 0 ) va B  ( 5 0 0 , 1 3 0 0 ) nuqtalar berilgan. Berilgan ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasiga asosan, 1 3 y 0 0 3 0 3 0 0 0 5 x 0 0 1 0 1 0 0 0 , yoki y  2