O‘QUVCHILARNING GEOMETRIK MASALALARNI YECHISHDA IJODKORLIGINI BOYITISH MAQSADIDA OLIMPIADA MASALALARI

Аннотация

Geometry is one of the most important and fundamental branches of mathematics, playing a significant role in developing students' analytical thinking skills. Particularly, enhancing creativity in solving geometric problems not only improves students' knowledge level but also develops their practical and theoretical thinking abilities. This article discusses Olympic problems and methods aimed at fostering creativity in solving geometric problems. Olympic problems encourage students to adopt new, unconventional approaches, creating challenges for them while also fostering creative thinking. The article suggests methods aimed at reinforcing geometric concepts and enhancing the ability to find solutions through various approaches. Keywords: Geometry, problems, creativity, Olympic problems, analytical thinking, concepts, mathematical methods, teaching methodology. Geometriya, ilk o‘rta va yuqori sinflarda matematikaning eng muhim bo‘limlaridan biri hisoblanadi. O‘quvchilarni geometrik masalalarni yechishda ijodkorlikka undash, nafaqat matematika faniga bo‘lgan qiziqishni oshiradi, balki ularning umumiy analitik fikrlash ko‘nikmalarini ham rivojlantiradi. Buning uchun o‘quvchilarga faqatgina oddiy masalalar emas, balki murakkab va ijodiy yondashuvni talab qiladigan olimpiada masalalari taqdim etish zarur. Olimpiada masalalari, o‘quvchilarga turli xil yondashuvlar bilan masalalarni yechishni o‘rgatadi va ularda yangi tasavvurlarni shakllantirishga yordam beradi. 71-son 3 –to’plam May 2025 Sahifa: 113 Ustozlar uchun pedagoglar.org Geometrik masalalarning turlari: Geometrik masalalar turli yo‘llar bilan yechilishi mumkin, bu esa o‘quvchilarning ijodkorlik va analitik fikrlash qobiliyatini rivojlantirishga xizmat qiladi. Quyidagi geometrik masalalar turlarini ajratish mumkin: 1. Klassik geometrik masalalar: Ushbu masalalar, odatda, to‘g‘ri chiziqlar, burchaklar, doiralar va boshqa geometrik shakllar bilan bog‘liq bo‘lib, o‘quvchilarga asosiy geometrik tushunchalarni mustahkamlashga yordam beradi. 2. Kompleks va ijodiy masalalar: Bu turdagi masalalar, geometrik shakllarning o‘zaro bog‘lanishini, ya’ni transformatsiyalar, simmetriya, koordinatalar tizimi orqali yechish kabilarni o‘z ichiga oladi. Olimpiada masalalari asosan shu turga kiradi va o‘quvchilarga ko‘p qirrali yondashuvlarni o‘rgatadi. 3. Qiyinlashtirilgan masalalar: Bu masalalar o‘quvchilarni murakkab yondashuvlarga undaydi. Bunday masalalarda, o‘quvchilarga ilgari o‘rganilmagan geometrik usullarni qo‘llash zarur bo‘ladi. Klassik geometrik masalalarga namuna keltirsak: 1 Masala (Super matematika): ABCD to’rtburcakda AB=BC va ∠𝐷𝐴𝐵 = 2𝛼,∠𝐶𝐵𝐸 = 4𝛼 − 600, ∠𝐴𝐷𝐵 = 𝛼, ∠𝐵𝐷𝐶 = 𝑥 =? Yechim: ABC teng yonli uchburchakda AB=BC=a deb belgilaymiz (chizmaga qarang). 71-son 3 –to’plam May 2025 Sahifa: 114 Ustozlar uchun pedagoglar.org Bu holda, tashqi burchak xossasiga asosan, ABC uchburchakda 4𝛼 − 600 ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐴 = = 2𝛼 − 300 ⇒ ∠𝐴𝐵𝐶 = 2400 − 4𝛼. 2 Masala shartiga ko’ra, DAB uchburchakda ∠𝐵𝐴𝐷 = 2𝛼,∠𝐴𝐷𝐵 = 𝛼 ⇒ ∠𝐴𝐵𝐷 = 1800 − 3𝛼. BDC uchburchakda ∠𝐵𝐷𝐶 = 𝑥, ∠𝐷𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐵𝐶 − ∠𝐴𝐵𝐷 = 600 − 𝛼, ∠𝐵𝐶𝐷 = 1800 − ∠𝐷𝐵𝐶 − ∠𝐵𝐷𝐶 = 1200 + 𝛼 − 𝑥. ABD uchburchakdan, sinuslar teoremasiga asosan, 𝑎 𝐵𝐷 = ⟹ 𝐵𝐷 = 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼. (1) 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛2𝛼 BDC uchburchakdan, sinuslar teoremasiga asosan, 𝑎 𝐵𝐷 𝑎sin (1200+𝛼−𝑥) = ⟹ 𝐵𝐷 = . (2) 𝑠𝑖𝑛𝑥 sin (1200+𝛼−𝑥) 𝑠𝑖𝑛𝑥 (1) va (2) tengliklardan quyidagi xulosalarga kelamiz: asin(1200 + 𝛼 − 𝑥) 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 = ⟹ 2𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝑥 = sin(1200 + 𝛼 − 𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛1200cos(𝛼 − 𝑥) + 𝑐𝑜𝑠1200sin(𝛼 − 𝑥) = √3 1 = (𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝑥) − (𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝑥) ⟹ 2 2 4𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝑥 = √3𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝑥 + √3𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝑥 ⟹ 3𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝑥 = √3𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝑥 + √3𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝑥 ⟹ ⟹ √3𝑠𝑖𝑛𝑥(√3𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝑥(√3𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛼) ⟹ ⟹ √3𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⟹ 𝑐𝑡𝑔𝑥 = √3 ⟹ 𝑥 = 300. Kompleks va ijodiy geometrik masalalar matematik tafakkur va ijodiy yondashuvni rivojlantirishda muhim rol o'ynaydi. Ushbu masalalar o'quvchilarda an'anaviy yechimlardan tashqari, yangi va noan'anaviy yondashuvlarni rivojlantiradi. Quyida ba'zi kompleks va ijodiy masalalar keltirilgan va ular bir nechta usulda yechiladi. 71-son 3 –to’plam May 2025 Sahifa: 115 Ustozlar uchun pedagoglar.org 2 Masala (Internet): ABCD to‘g‘ri to‘rtburchakda AB=2BC. M nuqta AB tomon o‘rtasi. Bu to‘g’ri to‘rtburchak ichida K nuqta shunday tanlanganki, ∠𝐴𝑀𝐾 = 830 va BK kesma ∠𝑀𝐾𝐶 bissektrisasida joylashgan. ∠𝑀𝐵𝐾 kattaligini toping. Yechim: Masalaga doir chizmani yasaymiz va yordamchi chiziqlar sifatida MK kesmaning davomiga BN, KC kesmaga BP perpenikulyarlarni o‘tkazamiz (chizmaga qarang): Bunda MKC burchakning BK bissektrisasida yotgan nuqtalar bu burchakning KM va KC tomonlaridan teng uzoqlikda joylashganligiga asosan BN=BP, masala shartiga ko‘ra BM=BC bo‘ladi. Shu sababli BNM va BPC to‘g’ri burchakli uchbuchaklar o‘zaro teng. BNM uchburchakda ∠𝐵𝑀𝑁 = ∠𝐴𝑀𝐾 = 830 bo‘lgani uchun ∠𝑁𝐵𝑀 = ∠𝑃𝐵𝐶 = 900 − 830 = 70 bo‘ladi. Bundan tashqari BKN va BKP to‘ri burchakli uchburchaklar o‘zaro teng, chunki ularning katetlari BN=BP, gipotenuzalari BK umumiy. Izlanayotgan burchakni ∠𝑀𝐵𝐾 = 𝛼 deb b