STANDART BO’LINISH UCHUN KUTISH VAQTI FUNKSIYALARINING ASIMPTOTIK HOLATI

Аннотация

Mazkur maqolada standart bo‘linishga asoslangan ehtimollik jarayonlarida kutish vaqti funksiyalarining asimptotik holati o‘rganiladi. Asosan, stoxastik modellar doirasida ketma-ket yuz beradigan hodisalar uchun kutilayotgan vaqtni aniqlovchi funksiyalarning cheksizlikdagi xatti-harakati tahlil qilinadi. Shuningdek, ushbu funksiyalarning chegaraviy baholari, tezlik darajalari va yondashuv usullari (ayniqsa Markov jarayonlari va ergodik tizimlar doirasida) batafsil ko‘rib chiqiladi. Olingan natijalar nazariy matematikada hamda texnik va tabiiy tizimlarni modellashtirishda qo‘llanilishi mumkin. Kalit so‘zlar: kutish vaqti, ehtimollik taqsimoti, standart bo‘linish, asimptotik analiz, ergodiklik, Markov jarayonlari, limit teoremalari, stoxastik modellashtirish, funksional chegaraviy xatti-harakat. Kirish. Ehtimollar nazariyasining muhim yo‘nalishlaridan biri — bu tasodifiy hodisalar ketma-ketligida yuz beradigan voqealar orasidagi kutish vaqtini aniqlashdir. Ushbu tushuncha real hayotda xizmatlar ko‘rsatish tizimlari, navbatlar nazariyasi, aloqa tarmoqlari va texnik tizimlardagi uzilishlarni modellashtirishda keng qo‘llaniladi. Ayniqsa, standart bo‘linish deb ataluvchi muayyan shartlarga ega bo‘lgan ehtimollik jarayonlarida kutish vaqti funksiyalari alohida qiziqish uyg‘otadi. Ushbu funksiyalarning asimptotik holati, ya’ni kiruvchi parametrlar cheksiz kattalashganda ularning qanday xatti-harakat qilishi, chegaraviy taqsimotlar, ergodik holatga yaqinlashish tezligi kabi masalalarni tahlil qilish zarur bo‘ladi. Aynan shunday holatlarni o‘rganish orqali biz real jarayonlarning uzoq muddatli xulqini bashorat qilish, tizimlarning barqarorligini aniqlash hamda optimal boshqaruv strategiyalarini ishlab chiqish imkoniyatiga ega bo‘lamiz. Matematikaning statistik va ehtimollar nazariyasidagi muhim masalalardan biri bo‘lgan bo‘linish funksiyalarining kutish vaqti (yoki o‘rtacha kutish vaqti) va ularning asimptotik xossalari tizimlar va jarayonlar haqidagi noaniq va kutilgan natijalar haqida to‘liq tasavvur beradi. Bu masala, asosan, tasodifiy jarayonlarning uzun muddatdagi xatti-harakatlarini tahlil qilish, kelajakdagi o‘zgarishlarni prognoz qilish va barqarorlikni aniqlashda qo‘llaniladi. Standart bo‘linish (yoki oddiy bo‘linish) — bu tizimning tasodifiy jarayonlar orqali ko‘plab kichik qismlarga bo‘linishini anglatadi. Masalan, tasodifiy sayohatlar, xizmatlar yoki muammolarni hal qilish jarayonlaridagi vaqtni tahlil qilishda standart bo‘linishdan foydalanish mumkin. Kutish vaqti (ya’ni, biror jarayonning yoki tizimning natijasiga erishish uchun o‘tkazilishi kerak bo‘lgan o‘rtacha vaqt) esa bo‘linishning asosiy xossalaridan biri bo‘lib, tizimlar orasidagi bog‘lanishlarni aniqlashda yordam beradi. Standart bo‘linish va kutish vaqti Standart bo‘linish jarayonlari, odatda, tasodifiy bo‘linish jarayonlari bilan bog‘liq bo‘ladi. Bu tizimlar ko‘pincha turli qismlarga yoki komponentlarga bo‘linadi va har bir 47 ` komponent tasodifiy tarzda ajratilgan yoki ishlatiladi. Tizimning umumiy xatti-harakati va kutish vaqti, ushbu qismlar va ularning bir-biriga ta’sirini tahlil qilish orqali aniqlanadi. Kutish vaqti — tizimning biror holatdan boshqa holatga o‘tishining o‘rtacha vaqtidir. Masalan, bo‘linish jarayonida biror hodisa sodir bo‘lishini kutish vaqti, muayyan kutish qiymatiga asoslanadi. Bu parametr tizimning rivojlanishini tahlil qilish va tizimni boshqarishda yordam beradi. Asimptotik holat Tizimlar va jarayonlar orasida kutish vaqti va asimptotik xossalar o‘rtasida mustahkam bog‘lanish mavjud. Asimptotik holat — bu tizim vaqtining cheksiz kattalikka o‘tishi bilan qanday o‘zgarishini tasvirlaydi. Agar biror tizim yoki jarayon uzluksiz va cheksiz davom etsa, unda kutish vaqti yoki bo‘linishning boshqa xossalari aniq shaklga ega bo‘ladi. Asimptotik kutish vaqti esa tizimning uzun muddatli va barqaror xatti-harakatlari haqida tushuncha beradi. Bu jarayonning o‘rta va uzun muddatli xatti-harakatlarini tasvirlashda juda foydalidir. Misol 1: Tasodifiy sayohatlar Tasavvur qilaylik, bir nuqta (yoki agent) har safar bir qadam oldinga yoki orqaga ketadi, va har bir qadam tasodifiy bo‘lishi mumkin. Ushbu jarayonda tizimning kutish vaqti — bu nuqtaning boshlang‘ich holatiga qaytish uchun o‘tkaziladigan o‘rtacha vaqtni ifodalaydi. Bu jarayonning asimptotik xossalari, ya’ni vaqtning cheksiz kattalikka o‘tishi bilan nuqtaning qaytish uchun zarur bo‘lgan kutish vaqti, odatda yig‘indilar yoki tasodifiy jarayonlar bilan bog‘liq bo‘ladi. Asimptotik kutish vaqti bu yerda vaqtning cheksiz o‘tishi bilan nuqtaning boshlang‘ich holatiga qaytish uchun kerak bo‘ladigan o‘rtacha vaqtni ifodalaydi. Masalan, tasodifiy sayohatlarda bu kutish vaqti ko‘pincha bo‘linishning geometrik yoki Poisson taqsimotlariga asoslanadi. Misol 2: Xizmat ko‘rsatish tizimlarida kutish vaqti Xizmat ko‘rsatish tizimlarida, masalan, kutish vaqti — bu mijozning xizmat ko‘rsatish uchun navbatda kutish vaqtini anglatadi. Har bir mijozning xizmat ko‘rsatishga kelishi tasodifiy bo‘l