МЕТОДИКА КОЛЕБАНИЯ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ КРИВОЛИНЕЙНОГО УЧАСТКА ТРУБОПРОВОДА

Аннотация

Задача собственных колебаний упругих линейных деформируемых тел к решению системы однородных линейных алгебраических уравнений, которые представим в матричной форме. Поскольку решение этой однородной системы линейных алгебраических уравнений отличны о т нуля, для её решения определитель системы приводиться к виду характеристического уравнения n-ой степени для квадратной матрицы. Ключевые слова: собственные колебания, деформация тел, определители, матрица, круговые частоты, кубические уравнения, миноры, модуль упругости. Задача собственных колебаний упругих линейных деформируемых тел к решению системы однородных линейных алгебраических уравнений, которые представим в матричной форме 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 С 1,1 С 1,2 С 1,3 0 0 0 0 0….. 𝑏 4 С 2,1 С 2,2 С 2,3 С 2,4 0 0 0….. 𝑏 С 3,1 С 3,2 С 3,3 С 3,4 С 3,5 0 0.. × 5 = 0 (1) 𝑏 0 С 4,2 С 4,3 С 4,5 С 4,6 0 0 0 .. 6 0 0 С 5,3 С 5,4 С 5,5 С 5,6 0 0… 𝑏 0 0 0 С С С С 0 .. 6,4 6,5 6,6 6,7 0 0 0 0 С С С ……. ( ……… … 7 … ,5 … … 7,6 …… 7 … ,7 … ) 3-To’plam 1-son Mart , 2025 212 Ilm fan taraqqiyotida raqamli iqtisodiyot va zamonaviy ta'limning o'rni hamda rivojlanish omillari Поскольку решение этой однородной системы линейных алгебраических уравнений отличны о т нуля, для её решения определитель системы (1) приводиться к виду характеристического уравнения n-ой степени для квадратной матрицы-Аn-порядка det(A-λE)=0 (2) где Е-единичная матрица, соответствующая заданной матрице. Корнями уравнения (2) являются собственные значения λ, роль которых в данной i задаче выполняют квадраты круговых частот собственных колебаний ώ2. i Рассмотрим усеченную систему однородных линейных алгебраических уравнений, полученную из (1) при m=1,2,3. В матричной форме эта система имеет вид: С 1,1 С 1,2 С 1,3 𝑏 1 𝐴𝐵 = ( С 2,1 С 2,2 С 2,3 )× (𝑏 2) = 0 (3) С С С 𝑏 3,1 3,2 3,3 3 Усечение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (1) не отразиться существенно на точности решения задачи, так как это система является регулярной [1]. Исследование, проведенное в соответствии с методикой [2], показало, что сумма модулей коэффициентов второстепенных членов каждой строки матрицы А, деленная на модуль коэффициента при главном диагональном члене, оказывается меньше единицы при любом параметре μ. Все элементы матрицы В отличны от нуля (b ≠ 0), следовательно определитель матрицы коэффициентов А должен m равняться нулю. 3-To’plam 1-son Mart , 2025 213 Ilm fan taraqqiyotida raqamli iqtisodiyot va zamonaviy ta'limning o'rni hamda rivojlanish omillari Поставленная задача определения частот собственных колебаний заданного участка трубопровода сводится к задаче о собственных значениях матрицы А. Приведем определитель (3) к виду характеристического уравнения матрицы А. С этой целью запишем этот определитель, подставив в него значения диагональных элементов с по формулам: m,m 𝐴 − 𝐵 − 𝐶 𝜔2 𝑐 𝑐 1𝑛 1𝑛 1𝑛 1.2 1.3 |𝐴| = | 𝑐 𝐴 − 𝐵 − 𝐶 𝜔2 𝑐 | = 0 2.1 2𝑛 2𝑛 2𝑛 2.3 𝑐 𝑐 𝐴 − 𝐵 − 𝐶 𝜔2 3.1 3.2 3𝑛 3𝑛 3𝑛 Умножим каждую строку данного определителя на 1/ С . В mn результате по свойству определителей получим: 𝐴 − 𝐵 𝑐 𝑐 1𝑛 1𝑛 − 𝜔2 1.2 1.3 𝐶 𝐶 𝐶 | 1𝑛 1𝑛 1𝑛 | 1 𝑐 𝐴 − 𝐵 𝑐 × 2.1 2𝑛 2𝑛 − 𝜔2 2.3 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 1𝑛 2𝑛 3𝑛 2𝑛 2𝑛 2𝑛 𝑐 𝑐 𝐴 − 𝐵 3.1 3.3 3𝑛 3𝑛 − 𝜔2 𝐶 𝐶 𝐶 3𝑛 3𝑛 3𝑛 = 0 Поскольку множитель 1/С C C , появившейся у определителя в 1n 2n 3n результате проделанной операции, отличен от нуля, следовательно, нулю равен определитель, который является характеристическим уравнением матрицы А: 3-To’plam 1-son Mart , 2025 214 Ilm fan taraqqiyotida raqamli iqtisodiyot va zamonaviy ta'limning o'rni hamda rivojlanish omillari 𝑑 − 𝜆 𝑑 𝑑 11 1.2 1.3 |𝐴 − 𝜆𝐸| = | 𝑑 𝑑 − 𝜆 𝑑 | = 0 (4) 2.1 2.2 2.3 𝑑 𝑐 𝑑 − 𝜆 3.1 3.2 3.3 𝐴 −𝐵 𝜆 = 𝜔2, 𝑑 = 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚,𝑚 𝐶 𝑚𝑚 𝐶 𝐶 𝑑 = 𝑚𝑚±1 𝑑 = 𝑚𝑚±2 𝑚,𝑚±1 𝑚,𝑚±2 𝐶 𝐶 𝑚𝑚 𝑚𝑚 (5) Раскрывая определитель вида (4), получаем характеристические уравнения степени, равной порядку матрицы А, корни которого λ, i называемые собственными значениями, определяют квадраты частот собственных колебаний рассматриваемого тела. Характеристическое уравнение матрицы А порядка к содержит в левой части многочлен к-ой степени от λ со старшим коэффициентом, равным единице, т.е. степень степень характеристического уравнения определяется порядком матрицы А. Если взять матрицу 1-го порядка при волновом числе m=1, то из (4) получим линейное характеристическое уравнение относительно λ : d -λ=0 1,1 Подставив сюда соответствующие значения по (5), получим равенство: 𝐴 − 𝐵 𝜔2 = 1𝑛 1𝑛 1𝑛 𝐶 1𝑛 Рассматривая матрицу 2-го порядка при волновых числах m=1 и 2, имеем из (4) 𝑑 − 𝜆 𝑑 11 1.2 | = 0 𝑑 𝑑 − 𝜆 2.1 2.2 3-To’plam 1-son Mart , 2025 215 Ilm fan taraqqiyotida raqamli iqtisodiyot va zamonaviy ta'limning o'rni hamda rivojlanish omillari Откуда получим квадратное характеристическое уравнение: λ2-(d1,1+d2,2)λ+(d d -d d )=0 (6) 1,1 2,1 1,2 2,1 решение которого дает два корня λ и λ , определяется квадрата круговых 1 2 частот собственных изгибных колебаний участка трубопровода ώ2 и ώ по 1n 2n соответствующим формам колебаний при m=1 и 2. Для матрицы3-го порядка, полученный при волновых числах