SINGULYAR QO'ZG'ATILGAN TENGLAMA UCHUN CHEGARAVIY MASALANI SPECTRAL METOD BILAN SONLI MODELLASHTIRISH

Аннотация

Mazkur ishda singulyar qoʻzgʻatilgan differensial tenglama uchun chegaraviy masalani sonli yechish masalasi koʻrib chiqilgan. Bunda spektral metodlar asosida yechim quriladi va ularning aniqligi, barqarorligi hamda hisoblashda samaradorligi tahlil qilinadi. Tadqiqot natijalari shuni ko‘rsatadiki, spektral metodlar singulyar qoʻzgʻatilgan masalalar uchun yuqori aniqlikdagi natijalarni beradi va murakkab fizik modellarni ifodalashda foydali vosita boʻla oladi. Kalit so‘zlar Singulyar qoʻzgʻatilgan tenglama, spektral metod, chegaraviy masala, sonli modellashtirish, yuqori aniqlik, cheklangan qatlamlar. Zamonaviy ilm-fan va texnikaning rivojlanishi bilan bir qatorda, murakkab fizik jarayonlarni modellashtirishga bo‘lgan ehtiyoj ortib bormoqda. Bunday tizimlar ko‘pincha keskin o‘zgaruvchan hodisalar, ya’ni chegara qatlamlari, tez o‘zgaruvchi gradientlar yoki kichik parametrlar bilan bog‘liq sezgirliklarni o‘z ichiga oladi. Aynan shunday murakkabliklarni ifodalaydigan tenglamalar sinfiga singulyar qo‘zg‘atilgan differensial tenglamalar kiradi. Bu tenglamalar oddiy ko‘rinishda ko‘rinsa-da, ularning yechimlari juda murakkab tuzilmaga ega bo‘lib, klassik sonli metodlar bilan yechishda sezilarli aniqlik yo‘qotilishi yoki barqarorlik buzilishi holatlari yuzaga keladi. Singulyar qo‘zg‘atilgan tenglamalar fizikada sirt tarangligi, soddalashtirilgan termo-diffuziya, suyuqliklar mexanikasi, kimyoviy reaksiyalar va boshqa ko‘plab muhim sohalarda paydo bo‘ladi. Bu tenglamalarning umumiy xususiyati — ularning yechimlarida kichik bir parametr mavjudligi sababli keskin o‘zgarishlar sodir bo‘lishidir. Bu holatlarni oddiy differensial tenglamalar bilan ifodalash yoki ularni oddiy sonli usullar bilan yechish imkonsizga yaqin. Aynan mana shunday vaziyatlarda yuqori aniqlikka ega bo‘lgan, silliq yechimlarni aniqlik bilan ifodalashga qodir bo‘lgan spektral metodlar ilmiy jamoatchilik e’tiborini o‘ziga jalb etmoqda. Spektral metodlar asosan cheksiz silliq funksiyalarni ortogonal polinomlar (masalan, Chebyshev yoki Legendre) orqali ifodalashga asoslanadi. Ularning asosiy afzalligi — oddiy sonli metodlarga qaraganda kamroq tugunlarda juda yuqori aniqlik taqdim eta olishidir. Ayniqsa, 20 DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN MODERN SCIENCES International scientific-online conference yechimda qatlam mavjud bo‘lsa ham, spektral metodlar moslashuvchan va aniqligi yuqori bo‘lgan natijalarni beradi. Ushbu tadqiqotda singulyar qo‘zg‘atilgan tenglama uchun chegaraviy masala ko‘rib chiqiladi va unga spektral metod asosida sonli yechim taklif etiladi. Bu yondashuvda Galerkin metodidan foydalaniladi, natijalar esa turli parametr qiymatlari va solishtirma metodlar yordamida baholanadi. Maqsad — spektral metodning bu turdagi murakkab masalalarda qanday samarali ishlashini amaliy va nazariy jihatdan chuqur tahlil qilishdir. Ushbu mavzu nafaqat nazariy qiymatga ega, balki real hayotda qo‘llaniladigan muhim texnologik modellar uchun tayanch bo‘la oladi. Shuningdek, spektral metodlar orqali singulyar holatlarni yechish bo‘yicha zamonaviy yondashuvlarni rivojlantirish, kelajakda murakkab muhitlarda fizikaviy hodisalarni kompyuterda modellashtirishning aniqligi va ishonchliligini oshirishga xizmat qiladi. Singulyar qoʻzgʻatilgan tenglamalarning mohiyatiSingulyar qo‘zg‘atilgan differensial tenglamalar odatiy differensial tenglamalarning maxsus turidir. Bu tenglamalarda kichik parametr mavjud bo‘lib, u yechimda keskin o‘zgarishlarni, ayniqsa, qatlam (boundary layer) deb ataluvchi zonalarni yuzaga keltiradi. Masalan, quyidagi oddiy ko‘rinishdagi tenglamani olaylik: \varepsilon y''(x) + a(x) y'(x) + b(x)y(x) = f(x), \quad 0 < x < 1, \quad y(0) = \alpha,\; y(1) = \beta Bu yerda – kichik musbat parametr (). Ushbu parametr qiymatining juda kichikligi sababli, yoki nuqtalarda qatlamlar paydo bo‘ladi. Bu qatlamlarda yechim keskin o‘zgaradi, qolgan intervalda esa silliq bo‘ladi.. An’anaviy sonli metodlarning cheklovlari Finit farqlar (FD), Cheklangan elementlar (FEM) yoki Cheklangan hajmlar (FVM) kabi klassik metodlar, qatlam zonalarini aniqlik bilan ifodalash uchun juda zich (ko‘p) tugun talab qiladi. Bu esa hisoblash xarajatlarini oshiradi. Bundan tashqari, aniqlik muhim bo‘lgan joylarda xatoliklar to‘planib ketishi mumkin. Shu sababli, bunday tenglamalarning yechimida boshqa, kuchliroq yondashuvlar zarur bo‘ladi. 3. Spektral metodlarning nazariy asosi Spektral metodlar yechimni global funksiyalar — ko‘pincha Chebyshev yoki Legendre polinomlari — orqali ifodalashga asoslanadi: y(x) \approx \sum_{n=0}^{N} c_n \phi_n(x) Bu yerda — ortogonal polinomlar, — noma’lum koeffitsiyentlar. Galerkin metodida bu koeffitsiyentlar test funksiyalar bilan ichki ko‘paytma orqali aniqlanadi. Chebyshev polinomlari yordamida juda yuqori aniqlikdagi yaqinlashuvga erishish mumkin, ayniqsa yechim silliq bo‘lgan oraliqlarda. 21 DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN MODERN SCIENCES International scientific-online conference 4. Singulyar masalaga spektral metodni qo‘llash Tadqiq