LOKAL ΌLSHEWLI OPERATORLAR ALGEBRASINIŃ 2-LOKAL DIFFERENCIALLAWLARI

Аннотация

This article studies the concept of local differentiation of 2-local measurable operator algebras and its main properties. The concept of local differentiation of algebraic structures and operator algebras is introduced and its specific properties are analyzed. The results are theoretically proven and supported by relevant examples. Keywords: 2-local measurable operator algebra, local differentiation, operator algebra, algebraic structures, differential operators. Bul bόlimde biz fon Neyman algebraları hám onıń subalgebralarına qarata lokal όlshewli operatorlar algebrasında 2-lokal differenciallawlardı táriyiplew ushın 3.2.1 teoremasın qollaymız. [23, Juwmaq 3.11] ta dálillengen, eger associativ algebra (kolco) όz ishine 179 A birlikti alǵan A kommutativ bolmaǵan ápiwayı subalgebranı (subkalco) όz ishine alsa, onda hár qanday M –bimodulǵa A Jordan differenciallawı A differenciallawı boladı, yaǵnıy A (J) qásiyetin qanaatlantıradı. Tiykarınan, eger A 0 n  2 ǵa izomorf bolǵan M (C) hám n A birlikti όz ishine alǵan subalgebra bar bolsa, A onda A(J) qásiyetin qanaatlantıradı [23]. Bul bόlimniń tiykarǵı nátiyjelerinen biri tόmendegiler 3.3.1 teorema. Meyli M – Abel tuwrıdan-tuwrı qosındılarısız qálegen fon Neyman algebrası hám L S ( M ) – M ǵa qarata barlıq lokal όlshewli operatorlar algebrası. Onda LS(M) nan alınǵan hár qanday M 2-lokal differenciallawı  differenciallaw esaplanadı. Dálilleniwi. Meyli z – M da oraylıq proyektor. Sebebi D(z)=0 hár qanday differenciallaw ushın, hár qanday D 2 – lokal differenciallawı ushın M kiriwi LS(M) anıq ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 5 180  ( z ) = 0 . x  M bolsın hám D – dan sonday (zx)= D(zx) qılıp L S ( M ) differenciallaw M , (x)= D(x). Onda mına teńlikke iye bolamız  ( z x ) = D ( z x ) = D ( z ) x + z D ( x ) = z  ( x ) . Bul hár bir 2-lokal differenciallawı  hár bir oraylıq proyektor z  M ushın z M z L S ( M )  L S ( z M ) bolıwın ańlatadı. Sonday etip, biz z M nan alınǵan  sheklewdi kόrip shıǵıwımız múmkin. Sonday-aq Abel tuwrıdan-tuwrı qosındıları bolmaǵan ıxtıyarıy fon Neyman algebrası tuwrıdan-tuwrı qosındıǵa ajralıwı múmkinligi sebepli I , n 2 tip, n I tip, I I hám I I I tiplerdi bόlek kόrip shıǵıwımız múmkin. Eger I n tipindegi n  2 M – fon Neyman algebrası, keyin 1.1.1 teoremadan M nan alınǵan hár qanday 2-lokal differenciallawı L S ( M )  S ( M ) differenciallawı ekenligi kelip shıǵadı. Meyli fon Neyman algebrası M I , I I yamasa III tiplerinen biri bolsın. Keyin lemma 1.1.1 di I tiptegi algebralar ushın hám lemma 1.1.2 ni I I yaki I I I tiptegi algebralar ushın qollasaq, M nan alınǵan birlik algebralar e ,e ,e όz-ara ekvivalent ortogonal proyekciyalar 1 2 3 qosındısı M sıpatında ańlatıw múmkin degen nátiyjege kelemiz. Onda bul x i, 3 j= e 1 i x e j sáwlelendiriw M algebrası hãm M 3 ( A ) matricalıq algebrası arasındaǵı izomorfizmdi belgileydi M , bul jerde A = e Me . Bunnan tısqarı, 1,1 1,1 L S ( M ) algebrası M 3 ( L S ( A ) ) algebra ushın izomorf. Sonday-aq, A algebrası M algebrası menen birdey tipke iye hám sonıń ushın M (C) izomorflıq subalgebrası bar. Demek, 3 A algebrası (J) qásiyetin qanaatlantıradı. Demak 3.2.1 teoremadan, L S ( M ) nan alınǵan hár qanday 2-lokal differenciallawı M differenciallawı ekenligi kelip shıǵadı. Teorema dálillendi. Abel fon Neyman algebrasındaǵı hár qanday differensiallaw trivial ekenligin esapqa alsaq, 3.3.1 teoremadan tόmendegi nátiyje kelip shıǵadı ([10, teorema 2.1] hám [9, teorema 3.1]). Nátiyje 3.3.1. Meyli M - ıxtıyarıy fon Neyman algebrası. Onda  hár qanday 2-lokal differenciallanıwshı M da differenciallanadı. Hár bir x  L S ( M ) ushın s ( x ) = l ( x )  r ( x ) orınlı, bul jerde l ( x ) hám r ( x ) x funkciyanıń oń hám shep tasıwshıları. Lemma 3.3.1. Meyli B – LS(M) da subalgebra, bunda M  B hám  : B → L S ( M ) 2-lokal differenciallawı bolsın, bunda  |M  0 . Onda   0 . Dálilleniwi. Dáslep x  B  S ( M ) ıxtıyarıy elementin alayıq. Meyli | x|= de – 0 spektral bόliniw bolsın. Solay etip x  S ( M ) , onda e⊥ – jeterlishe úlken n ushın shekli n proyektor. Sonday  ( x ) = D x ,x e n ( x ) hám (xe )= D (xe ) nN differencialın alayıq D . Sebebi bul xe M, n x,xe n x,xe n n n barlıq nN ushın sonday (xe ) = 0. Bizde n ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 5 181  ( x ) =  ( x ) −  ( x e n ) = D x ,x e n ( x ) − D x ,x e n ( x e n ) = = D (x− xe )= D (xe⊥). x,xe n x,xe n n n Meyli  – barlıq proyektorlar M tarmaǵındaǵı keńeytirilgen oraylıq reshetka P ( M ) ([44]). Lemma 1.2.1 dan paydalanıp, tόmendegige iye bolamız (s((x)))= (s(D (xe⊥)))3(s(xe⊥))=3(l(xe⊥)r(xe⊥))  x,xe n n n n n  3  ( l ( x e ⊥n ) ) + 3  ( r ( x e ⊥n ) )  6  ( e ⊥n )  0 , hám bunnan (x)= 0. Endi x  B elementin alayıq. Lokal όlshewli operatordıń anıqlamasına kόre, M da {z } sonday z 1 hám xz S(M) barlıq n n n n  N ushın oraylıq proyeksiyalar izbe-izligi bar ( 1.1.2 anıqlamaǵa qarań ). Aldınǵı jaǵdaydı esapqa alsaq, tόmendegi teńlikti alamız z n  ( x ) = z n D