SONLI TOPLAMLARNING CHEGARALARI

Аннотация

Ushbu maqolada real sonlar to’plamining chegaralanganligi tushunchasi hamda uning matematik analizdagi nazariy va amliy ahamiyati atroflicha tahlil qilindi. Chegaralangan to’plamlar ularning yuqori va quyi chegaralari kabi asosiy tushunchalari qat’iy mateematik ta’riflar asosida ko’rib chiqildi. Kalit so’zlar: Chegaralangan to’plam, soni ketma –ketlik, matematik anliz, chegaralik sharti, yuqori va quyi chegaralar. Kirish. Sonli to’plamlar. Biz avvalgi paragraflarda xaqiqiy sonlar toplami R ni va uning xossalarini o’rgandik. Odatda elementlari xaqiqiy sonlardan iborat bo’lgan to’plam sonly to’plam deyiladi va u ko’pincha 𝐸 = {𝑥} kabi belgilanadi. Matematik analiz kursida asosan sonli to’plamlar qaraladi. Sonli to’plamlarga yuqorida bir qancha misollar keltirgan edik. Yana bir qancha misollar keltiramiz. 1 1 2 1 3 1.𝐹 = {0,1, , , , , }, 1 2 3 3 4 4 2.𝐹 = {𝑥: 𝑥𝜖𝑅 𝑥3 −𝑥 = 0}, 2 3. 𝐹 = {𝑥, 𝑥 ∈ 𝑅 1 ≤ 𝑥 ≤ 2} 3 4. 𝐹 = {𝑥: 𝑥𝜖𝑅 0 < 𝑥 < 1} ∪ {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≥ 3} . 4 Kurs davomida har doim uchrab turadigan sonli to’plamlarni keltiramiz . Ikki 𝑎 ∈ 𝑅,𝑏 ∈ 𝑅 son berilgan bo’lib, 𝑎 < 𝑏 bo’lsin. Ushbu {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} To’plam segment deb ataladiva u [𝑎,𝑏] kabi belgilanadi : [𝑎,𝑏] = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Bunda a va b sonlar[𝑎,𝑏] segmentning chegaraviy nuqtalari yoki chegaralari deyiladi. Ushbu {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} To’plam interval deyiladi va u(𝑎,𝑏) kabi belgilanadi : (𝑎,𝑏) = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}. Quyidagi {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏},{𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} To’plamlar yarim segment deyiladi va ular mos ravishda[𝑎,𝑏) va (𝑎,𝑏] kabi belgilanadi: [𝑎,𝑏) = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}, (𝑎,𝑏] = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}. Keyingi muloxazalarda asosan sonli to’plamlar bilan ishko’riladi. Shuning uchun bundan keyin “sonli to’plam “ deyish o’rniga qisqacha “to’plam “ so’zini ishlatamiz. 1 Misollar. 1. 𝐸 = { : 𝑛 = 1,2,3, } to’plam yuqoridan chegaralangan, chunki bu 𝑛 to’plamning xar bir elementi dan katta emas. 2.𝑁 = {𝑛: 𝑛 = 1,2,3 }to’plam yuqoridan chegaralanmagan , ammo u quyidan bilan chegaralangan: ∀𝑛 ∈ 𝑅. Uchun 𝑛 ≥ 1 . 3. 𝐸 –barcha to’g’ri kasrlar va 2,4,6 sonlardan iborat to’plam bo’lsin. Bu to’plam 1 128 yuqoridan chegaralangan, chunki uning xar bir elementi 6 dan katta emas. 4. 𝐸 = {𝑥:𝑥 < 0}to’plam quyidan chegaralanmagan. 2 5.Ushbu 𝐸 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 2 < 𝑥 < 4}to’plamchegaralanganto’plamdir. 3 Yuqorida keltirilgan ta’rif va misollardan ko’rinadiki, agar E to’plam yuqoridan chegaralangan bo’lsa, uning yuqori chegarasi cheksiz ko’p bo’ladi. Bu tasdiq M sonidan katta bo’lgan xar qanday xaqiqiy son E to’plamning yuqori chegarasi bo’la olishidan kelib chiqadi. Shuningdek, agar E to’plam quyidan chegaralangan bo’lsa ,uning quyi chegarasi xam cheksiz ko’p bo’ladi. Bu esa m sonidan kichik bo’lgan xar qanday xaqiqiy son E to’plamning quyi chegarasi bo’la olishidan kelib chiqadi. Yuqoridan chegaralangan to’plam uchun uning yuqori chegaralari orasida eng kichigini, shuningdek, quyidan chegaralangan to’plam uchun uning quyi chegaralari orasida eng kattasini topish muhimdir. 4- teorema. Xar qanday yuqoridan chegaralangan to’plam uchun uning yuqori chegaralari orasida eng kichigi mavjud. Isbot. E to’plam yuqoridan chegaralangan bo’lsin, yani shunday xaqiqiy M son mavjudki, ∀𝑥 ∈ 𝐸. Uchun 𝑥 ≤ 𝑀 tengsizlik o’rinli. Endi E to’plam elementlari orasida eng kattasi mavjud bo’lmagan xolni qaraymiz. E ning yuqori chegaralaridan iborat to’plam 𝐹′ bo’lsin. Bu 𝐹′ to’plamga tegishli bo’lmagan barcha xaqiqiy sonlardan iborat to’plamni F deylik. Ravshanki, 𝐸 ⊂ 𝐹 F va 𝐹′ to’plamlar R da (F,𝐹′ ) kesim bajaradi: , 𝐸 ⊂ 𝐹 va E – yuqoridan chegaralanganligidan 𝐹 ≠ ∅𝐹′ ≠ ∅ , ekani kelib chiqadi, shuningdek , F va𝐹′ larning tuzilishidan esa 𝐹 ∪𝐹′ = 𝑅 va ∀𝑥 ∈ 𝐹, ∀𝑥 ∈ 𝐹, ∀𝑥′ ∈ 𝐹′ → 𝑥 < 𝑥′ bo’ladi. Dedekind teoremasiga ko’ra bu (F,𝐹′ ) kesim biror 𝛼 xaqiqiy sonni aniqlaydi: 𝛼=(F,𝐹′ ). Bu 𝛼 son tabiiyki, F to’plamning va demak, 𝐸 ⊂ 𝐹 bo’lganidan E to’plamning xam yuqorichegarasidir, yani𝛼 ∈ 𝐹′ Shu bilan birga u 𝐹′ to’plamning elementlari orasida eng kichigi. Teorema to’liq isbot bo’ldi. 14- tarif. Yuqoridan chegaralangan E to’plamning yuqori chegaralarining eng kichigi E ning aniq yuqori chegarasi deb ataladi. U E kabi belgilanadi. Xulosa. Chegaralangan to’plamalr haqidagi tushunchalar matematik analizning asosiy tamoyillarida biri bo’lib, sonli ketma –ketliklar va funksiyalarning xatti-harakatini chuqur tushunishda muhim nazariy asos vazifasini bajardi. MAzkur maqolada chegaralilik fundamental tushunchalarining aniqligi va ularning matematik mulohazalar bilan asoslangan tahlili taqdim etildi.