Антье, мантисса и ее приложения

Аннотация

Ключевые слова: В данной статье приводятся теоретические и Антье, практические материалы и задачи на тему антье и мантисса, мантиссу в основном по теории чисел и алгебре. последовательность, Рекомендованы методы решения типовых конкурсных и функция в множестве R, определенный интеграл, олимпиадных задач при помощи свойств антье и мантиссы. каноническое разложение, ограниченная функция. 1 Teacher of Mathematics, Urgench State University. Жамият ва инновациялар – Общество и инновации – Society and innovations Special Issue – 07 (2023) / ISSN 2181-1415 Ant’e (fran. entiyer) termini 1798-yilda Lejandr tomonidan taklif qilingan bo‘lib, qariyb ikki yuz yildan beri ishlatib kelinmoqda.Yangi tushuncha uning miyasiga n murakkab sonining kanonik yoyilmasida p tub sonining necha marta uchrashini hisoblash zaruriyatidan kelib qolgan. x sonining ant’yesini [x] kabi belgilashni 1808-yilda Gauss taklif qilgan. Mantissa termini haqida adabiyotlarda diqqatga molik tarixiy ma’lumotlar deyarli uchramaydi. Oldingi paytlarda ant’e* va mantissa* (sonning butun va kasr qism) larga doir masalalar juda tor doiradagi olimpiada masalalari hisoblanar edi. Oxirgi paytlarda esa ayrim chet davlatlar oliy o‘quv yurtlariga kirish imtihonlarida shu turdagi oson masalalar taklif qilinayotgan bo‘lsa,qiyinlik darajasi yuqori bo‘lgan masalalar milliy va xalqaro olimpiadalarda o‘quvchilarga taklif qilina boshladi. Xo‘sh ant’e va mantissaga doir masalalar nimasi bilan qiziq? Agar ant’e va mantissani funksiya sifatida qaraydigan bo‘lsak,bu funksiyalar uzluksiz emas,aniqrog‘i, bo‘lak-bo‘lak uzluksizdir.Bunday funksiyalarning mavjudligi esa odatiy yechish usullaridan tubdan farq qiladi. “Ant’e va mantissa” mavzusining o‘ziga xosligi va shu mavzuga doir masalalarning murakkabligi,aniqrog‘i, qiyinchiligi shundaki,o‘quvchining bu yo‘nalishda yetarli darajada mashq qilmaganligida ko‘rinadi.Bu tipdagi masalalarning ko‘pchiligining yechimi juda qisqa mantiqiy tahlilga asoslangan bo‘ladi. Bulardan tashqari ant’e va mantissa shunday xossalarga egaki, o‘quvchidan bir qancha amallarni bajarishni talab qiladi.Shunday o‘ziga xosliklarga qaramasdan ko‘pgina xossalarni masalalarni yechish davomida ham hosil qilish mumkin bo‘ladi. Maqolada ant’e va mantissaga doir tanlab olingan masalalar fanning sonlar nazariyasi va algebra bo‘limiga xos bo‘lib, chet mamlakatlar milliy olimpiadalarida tavsiya qilingan ayrim masalalar ham berilgan. Qiziquvchilar uchun maqolada masalalarning to‘liq va asoslangan yechimlari berilgan. 1. [𝒇(𝒙)] = 𝒈(𝒙) ko‘rinishidagi tenglamalarning yechish metodlari. Qaralayotgan tenglamalar ko‘pincha konkurs masalalarida uchraydi. Bu shakldagi tenglamalarga shuningdek boshqa tenglamalar ham keltiriladi, masalan mantissa qatnashgan tenglamalar. [𝒇(𝒙)] = 𝒈(𝒙) (1.1) ko‘rinishdagi tenglamalarning o‘ziga xosligi tenglikning o‘ng tomonining butun ekanligidadir. Bundan esa tenglamani o‘zgaruvchining g(x) funksiyaning butun qiymatlarini qabul qiladigan qiymatlarigina qanoatlantirishi kelib chiqadi.Bundan tashqari 𝑓(𝑥) 𝑣𝑎 𝑔(𝑥) funksiyalarning qiymatlar sohalari chegaralangan bo‘lsa, (1.1) tenglama bir necha sodda tenglamalarga ajralishi mumkin. 1.1. 𝑔(𝑥) funksiyaga teskari bo‘lgan funksiyani qo‘llash metodi. (1.1) tenglamani o‘zgaruvchining g(x) funksiyani butun qiladigan qiymatlari qanoatlantirishidan kelib chiqib, 𝑛 = 𝑔(𝑥) ,𝑛 ∈ 𝑍 * fran. entiyer - butun * lat. mantissa – qo‘shimcha 271 Жамият ва инновациялар – Общество и инновации – Society and innovations Special Issue – 07 (2023) / ISSN 2181-1415 belgilashni kiritaylik. Faraz qilaylik 𝑔(𝑥) qat’iy monoton (o‘suvchi) funksiya bo‘lsin.U holda 𝑔(𝑥) funksiya teskarilanuvchi bo‘lib, 𝑥 ni 𝑛 orqali ifodalab olamiz: 𝑥 = 𝑔−1(𝑛). Natijada ikki marta o‘zgaruvchini belgilash natijasida (1.1) tenglama butun o‘zgaruvchili tenglama ko‘rinishiga keltiriladi. [𝑓(𝑔−1(𝑛))] = 𝑛,[𝑓(𝑔−1(𝑛))−𝑛] = 0 (1.2) Oxirgi tenglama quyidagi butun qo‘sh tengsizlikka teng kuchli bo‘ladi 0 ≤ 𝑓(𝑔−1(𝑛))−𝑛 < 1 , (1.3) Uni yechib, oldin 𝑛 topib (1.1) ning yechimlari sonini keyin esa teskari almashtirish bilan berilgan tenglamaning ildizlarini topib olamiz. Yuqorida ko‘rib chiqilgan metodni (1.1) ko‘rinishdagi tenglamalarga qo‘llanilishi ko‘lamini 𝑔(𝑥) funksiyaning teskarilanuvchanligi va o‘zgaruvchilarni teskaridan almashtirishlarning murakkabligi boshqa usullarga nisbatan biroz cheklab qo‘yadi. Endi bu metodni (1.1) ko‘rinishdagi ayrim masalalarga qo‘llab ko‘ramiz 𝑥+1994 𝑥+2011 11. Tenglamani yeching [ ] = . 81 101 𝑥+2011 Yechilishi. Belgilash kiritib olamiz 𝑛 = . U holda 𝑥 = 101𝑛 −2011 101 Endi qo‘sh tengsizlikni yozib olamiz 101𝑛 −17 0 ≤ −𝑛 < 1. 81 Qo‘sh tengsizlikning chap tomonini yechib 𝑛 ≥ 1 ni ( 𝑛faqat butun qiymatlarni qabul qiladi) , o‘ng tomonini yechib 𝑛 ≤ 4 ni hosil qilamiz. Bundan tenglama 𝑛 = 1,2,3,4 larda to‘rtta yechimga egaligi kelib chiqadi. Javob: -1910, -1809, -1708, -1607 12. Tenglamani yeching [𝑥] = . 𝑥 √2 √2 Yechilishi. Belgilash kiritib olamiz 𝑛 = . Keyin 𝑥 ni 𝑥 = 𝑛 𝑥 𝑛 orqali ifodalab, yordamchi butun 𝑛 ga nisbatan qo‘sh