Антье, мантисса и ее приложения

Аннотация

Ключевые слова: В данной статье представлены теоретические и aнтье, практические материалы, а также задачи по теме "антье" и мантисса, "мантисса", в основном в рамках теории чисел и алгебры. простое число, 1 Senior Teacher, Academic Lyceum under Urgench State University 2 Student, Urgench city specialized school under the Agency for Specialized Educational Institutions Жамият ва инновациялар – Общество и инновации – Society and innovations Special Issue – 10 (2023) / ISSN 2181-1415 основная теорема Рекомендуются методы решения типовых конкурсных и арифметики, олимпиадных задач с использованием свойств "антье" и каноническое разложение, "мантисса". формула Лежандра. Ant’ye (fran. entiyer) termini 1798-yilda Lejandr tomonidan taklif qilingan bo‘lib, qariyb ikki yuz yildan beri ishlatib kelinmoqda. x sonining ant’yesini [ x ] kabi belgilashni 1808-yilda Gauss taklif qilgan. Mantissa termini haqida adabiyotlarda diqqatga molik tarixiy ma’lumotlar deyarli uchramaydi. Oldingi paytlarda ant’ye1 va mantissa2 (sonning butun va kasr qism) larga doir masalalar juda tor doiradagi olimpiada masalalari hisoblanar edi. Oxirgi paytlarda esa ayrim chet davlatlar oliy o‘quv yurtlariga kirish imtihonlarida shu turdagi oson masalalar taklif qilinayotgan bo‘lsa, qiyinlik darajasi yuqori bo‘lgan masalalar milliy va xalqaro olimpiadalarda o‘quvchilarga taklif qilina boshladi. Xo‘sh ant’ye va mantissaga doir masalalar nimasi bilan qiziq ? Agar ant’ye va mantissani funksiya sifatida qaraydigan bo‘lsak, bu funksiyalar uzluksiz emas, aniqrog‘i, bo‘lak-bo‘lak uzluksizdir. Bunday funksiyalarning mavjudligi esa odatiy yechish usullaridan tubdan farq qiladi. “Ant’ye va mantissa” mavzusining o‘ziga xosligi va shu mavzuga doir masalalarning murakkabligi o‘quvchining bu yo‘nalishda yetarli darajada mashq qilmaganligida ko‘rinadi. Bu tipdagi masalalarning ko‘pchiligining yechimi juda qisqa mantiqiy tahlilga asoslangan bo‘ladi. Bulardan tashqari ant’ye va mantissa shunday xossalarga egaki, o‘quvchidan bir qancha amallarni bajarishni talab qiladi. Shunday o‘ziga xosliklarga qaramasdan, ko‘pgina xossalarni masalalarni yechish davomida ham hosil qilish mumkin bo‘ladi. Maqolada ant’ye va mantissaga doir tanlab olingan masalalar fanning sonlar nazariyasi va algebra bo‘limiga xos bo‘lib, chet mamlakatlar milliy olimpiadalarida tavsiya qilingan ayrim masalalar ham berilgan. Qiziquvchilar uchun maqolada masalalarning to‘liq va asoslangan yechimlari berilgan. 1. Lejandr formulasi yordamida ant’ye, mantissa (sonning butun va kasr qismi) ga doir masalalar yechish metodikasi. Lejandr formulasini keltirib chiqarish uchun bizga natural sonni tub ko‘paytuvchilarga ajratishning kanonik yoyilmasi formulasi kerak bo‘ladi. Arifmetikaning asosiy teoremasi. n natural sonini 𝑛 = 𝑝 ∙𝑝 ∙ 𝑝 ∙…∙𝑝 , 1 2 3 𝑚 1. Lejandr formulasi yordamida ant’ye, mantissa (sonning butun va kasr qismi) ga doir masalalar yechish metodikasi. Lejandr formulasini keltirib chiqarish uchun bizga natural sonni tub ko‘paytuvchilarga ajratishning kanonik yoyilmasi formulasi kerak bo‘ladi. Arifmetikaning asosiy teoremasi. 𝑛 natural sonini 𝑛 = 𝑝 ∙𝑝 ∙ 𝑝 ∙…∙𝑝 , 1 2 3 𝑚 305 Жамият ва инновациялар – Общество и инновации – Society and innovations Special Issue – 10 (2023) / ISSN 2181-1415 ko‘paytma shaklida ifodalash mumkin, agar ko‘paytuvchilarning o‘rnini hisobga olmaganda, bu ko‘paytma yagonadir, bunda 𝑝 ,𝑝 ,𝑝 ,…,𝑝 lar tub sonlar tarzda ushbu 1 2 3 𝑚 𝑛 = 𝑝 𝛼1 ∙𝑝 𝛼2 ∙… ∙ 𝑝 𝛼 𝑘, 1 2 𝑘 bunda 𝑝 < 𝑝 < 𝑝 < … < 𝑝 lar tub sonlar , 𝛼 ,𝛼 ,…𝛼 ∈ 𝑁 1 2 3 𝑘 1 2 𝑘 Yuqoridagi kabi 𝑛 natural sonini ifodalanishiga 𝑛 natural sonining kanonik ko‘rinishi deyiladi. Lejandr formulasi. Tub 𝑝 sonining 𝑛! = 1∙2∙3∙…∙𝑛 kanonik yoyilmada necha marta qatnashishlari soni quyidagi yig‘indi yordamida aniqlanadi: 𝑛 𝑛 𝑛 𝑒 (𝑛) = [ ]+[ ]+[ ]+⋯ (3.1) 𝑝 𝑝 𝑝2 𝑝3 Isboti. Agar n < p bo‘lsa, 𝑛! = 1∙2∙3∙…∙𝑛 da 𝑝 ga karrali ko‘paytuvchi mavjud emas. Bu holda Lejandr formulasi to‘g‘ri. Endi 𝑛 ≥ 𝑝 deylik. U holda bizga n ning p ga karrali barcha bo‘luvchilari ma’lum : 𝑛 𝑝,2𝑝,3𝑝 va hokazo. Shuningdek, ularning soni [ ] ga teng. Shunday qilib, 𝑝 𝑛! = 1∙2∙3∙…∙𝑛 = p∙2p∙3p∙…∙[ 𝑛 ]𝑝∙N = pα1 ∙α !∙N , bunda 1 1 1 𝑝 n α = [ ] va 𝑁 p ga bo‘linmaydi . 1 1 p Shunday qilib, 𝑛! ning yoyilmasida 𝑝𝛼1 dan tashqari 𝛼 !− 1 n! ning qolgan p2 karrali ko′paytuvchilari va 𝑁 − 𝑝 ga bo′linmaydigan 1 sonlar ham uchrar ekan. Endi 𝛼 ! uchun yuqoridagidek mulohaza yuritib, quyidagilarni yozib olamiz. 1 n [ ] α ! = 𝑝𝛼2 ∙ 𝛼 ∙𝑁 ,bunda α = [ α1] = [ p ] = [ n ] va N p ga bo′linmaydi. 1 2 2 2 p p p2 2 [𝑥] 𝑥 Yuqorida [ ] = [ ] formuladan foydalandik . 𝑝 𝑝 Shunday qilib, ikkita harakatdan so‘ng, n! dan pα1 va pα2 ajratib yozib olgach, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz. 𝑛! = 𝑝𝛼1 ∙𝑝𝛼2 ∙𝛼 !∙𝑁 ∙𝑁 . (3.2) 2 1 2 Yuqoridagi algoritmni chekli marta takrorlab, ushbu 𝑛! = 𝑝𝛼1 ∙𝑝𝛼2 ∙…∙𝑝𝛼 𝑘 ∙𝑀 = 𝑝𝛼1+𝛼2+⋯+𝛼 𝑘 ∙𝑀, bunda, M p ga bo′linmaydi va 𝛼 = [ 𝑛 ] . 𝑖 𝑝𝑖 Arifmetikaning asosiy teoremasiga ko‘ra, 𝑛! ning kanonik yoyilmasi yagona ekanligi, ya’ni yuqorida keltirilgan formula n! ning M p ga bo′lin