ENG SODDA FUNKSIONAL TENGLAMALAR VA ULARNI YECHISH

Аннотация

в данной статье рассматривается решение простейших функциональных уравнений и связанных с ними задач. Ключевые слова: множество, монотонная функция, множество непрерывных решений Annotation: this article deals with the solution of the simplest functional equations and problems related to them. Keywords: set, monotone function, set of continuous solutions E  R to`plamda 139 ( x ) : E  E  funksiya berilgan bo`lsin , ( x )  x  va x E boshlang`ich nuqta. 0 (x)  x 0 x  x 0 sistemaning ( x )  x  xE bo`lgandagi, yoki (x)  x 0 x  x 0 sistemaning ( x )  x  x  E bo`lgandagi yechimlar to`plamini E bilan 1 belgilaylik. E deb 0 E 0 ( x ) : x  E 1 E k  1 x ; k  1 ( x )  E 0  k  2,1,2..... bu yerda ( x ) 0  x  , ( x ) 1 ( x ) ,.... m ( x ) ( m ( x ) )       deb olaylik, m  0,1,2.... (x)  x funksiya ( x ) m  x  funksiyaga teskari funksiya, bu yerda (x)-qatiy monoton funksiya. Ko`rinib turibdiki ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE International scientific-online conference 140 E k ~E  E , E E   i j i  j va xE dan (x)E , k1 k x  E k dan esa k ( x )  E 0  , k  1 ( x )  E  1  kelib chiqadi. Misol: ( x )  x  1  , x E  R 0 bo`lsin. U vaqtda E k  ( x 0  ( k  1 ) , x 0  k ] quyidagi ( ( x ) ) ( x )    x  E ( ( x )  x )  (1,1) faraz qilaylik E to`plamlardan birida , masalan E da k 0 ( x )  -ixtiyoriy funksiya berilgan bo`lsin. Quyidagi tengliklardan, ya`ni ( ( x ) ) ( x )    , x  E k k  0 ( k ( x ) ) ( x )    ,  k ( x )  E k  k  0 tengliklardan aniqlangan funksiya E to`plamda (1,1) tenglamani qanoatlantiradi. Shuning uchun bu tenglama bitta ixtiyoriy funksiyaga bog`liq bo`lgan cheksiz ko`p yechimga ega. [1] Agar ( x )  qat`iy manoton bo`lsa, u vaqtda (1) tenglamaning umumiy yechimi ( x ) ( k ( x ) )    x  E k k  0 ,  1 ,  2 ...... (1,2) ko`rinishida yozishimiz mumkin. Bunday yechimlarni berilgan tenglamaning ikki tomonlama yechimi deyiladi. (1,1) Tenglamaning yechimlar to`plamini  to`plam bilan belgilaylik. Ma`lumki [], agar uzluksiz , qat`iy monoton , boshlang`ich funksiya ( x )  esa uzluksiz va ((x 0))(x ) chegaraviy shartni (x)  x bo`lganda 0 0 qanoatlantirsin yoki ( x )  x  bo`lgan vaqtda (1,1) funksional tenglamaning barcha yechimlari E to`plamda uzluksiz bo`ladi. Yechimlarning (1,1) tenglamani qanoatlantiradigan bunday yechimlar to`plamini ( ( x )  ga mos)  deb belgilaylik. Ko`rinib turibdiki,  to`plam 1 1 (1,1) tenglamaning uzluksiz yechimlar to`plamini beradi. [2] Faraz qilaylik, (x) funksiya E to`plamda differensiallanuvchi va 0 ((x 0)) (x 0) 0 0 shartni qanoatlantirsin. (1,1) tenglamaning (x) boshlang`ich funksiyaga mos bunday echimlar to`plamini  to`plam bilan belgilaylik. Ko`rinib 2 ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE International scientific-online conference turibdiki bu to`plam (1,1) tenglamani barcha differensiallanuvchi yechimlar to`plamini beradi. Yuqoridagi tahlillarga asosan 141 2 <  1 <  munosabatni y o z i s h i m i z m u m k i n . Misollar: 1) (x  p) (x) tenglama yechimlari to`plamlaridan biri   = { s i n 2 x p , c o s 2 x p ......} bu yechim barcha P  0 ga teng bo`lgan davriy, differensiallanuvchi funksiyalardan iborat yechimlar to`plamini beradi. x 2) ( ) (x) 2 tenglama yechimlaridan tuzilgan to`plamlardan biri    { s i n 2 l n l n 2 , c o s 2 l n l n 2 ......}   x x bu yechim barcha davri ln2 ga eng bo`lgan differensiallanuvchi funksiyalardan iborat yechimlar to`plamini beradi. 3) ( 1 x ) ( x )    x  0 bu tenglamaning yechimlaridan tuzilgan to`plamlardan biri   { c o s l n x , ( l n x ) 2 , . . . . . } bu to`plam funksiyadan tuzilgan barcha juft funksiyalardan tuzilgan to`plamga ega. Endi quyidagi funksional tenglamalarni qisqacha tekshirishni qaraylik: 1) (x (t 1) )2  x2(t) , i  0  funksional tenglamani qaraylik. Bu funksional tenglamalarga mos differensial tenglamalar trayektoriyalari x  y  y  x oddiy differensial tenglamalar sistemasidan iborat bo`lib x2  (y )2  ni beradi. Bundagi  ning har bir qiymati bitta L trayektoriyani beradi. 2 Bu quyidagi chizmada aks ettirilgan ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE International scientific-online conference 2) 142 ( x ( t  1 )  ( x ( t )  1 )  2   R  bu funksional tenglamalar oilasiga mos trayektoriyalarning oddiy differensial tenglamalar sistemasi x  x 1 y  y  2 bo`ladi. Bunda x  1 , y  2 ; x  1 , y  2 ; x  1 , y  2 ; y  2  ( x  1 ) ,  x1 , R y  2  ( x  1 ) ,  x  1 ,  R  fazoviy tekislikdagi  (x(0),x(1)) (10,9) nuqta boshlang`ich shartlarni aniqlaydi. Bu trayektoriyalar oilasidan yagona  {y  x1,x 1} trayektoriya aniqlanadi.  to`g`ri chiziq : x  x1 x(,1) akslantirishlar bilan beriladi va boshlang`ich masala x(t 1)  x(t)1 x ( t )  t  1 0 , agar t[0,1] bo`lsa , masalaga keltiriladi. Misol. y ( x p ) y ( x p ) y ( x ) y ( x )          (1.3) Differensial tenglamani differensiallab quyidagi funksional tenglamaga kelamiz va ushbu funksional