IKKI KARRALI INTEGRALNING TATBIQLARI HAQIDA

Аннотация

This article discusses practical issues related to the practical application of double integrals in the field of construction and architecture, and explains in a convenient form methods forsolving them. Key words:area, volume, mass, surface, integral, density. Ikki karrali integrallar qurilish va arxitektura sohasida juda muhimdir. Bu sohasida ikki karrali integralning birnechta muhimqo’llanmalarini ko’rsatish mumkin: 1. Hajmni hisoblash: Qurilishda, binoning yoki strukturaning hajmini topish uchun ikki karrali integraldan foydalaniladi. Masalan, binoning hajmini hisoblash uchun, hajmni ifodalovchi funksiyani integrallashtirish mumkin. 2. Maydonni hisoblash: Ikki karrali integral yordamida, biror maydonning yuzasini hisoblashmumkin. Bu, masalan, bino yoki yer maydonini hisoblashdafoydali bo’ladi. 3. Massa va massa markazini hisoblash: Ikki karrali integral yordamida, lamina (yoki qalinlikka ega bo’lmagan plita) ning massasi va massasi markazini topish mumkin. Bu, lamina yuzasidamassaning tarqalishi bilan bog’liq bo’lishimumkin. 4. Integral hisoblash: Integral hisob yordamida me’mor grafiklar uzunliklarini, geometrik shakllarning maydonlarini vahajmlarini hisoblab qurishga tayyor bo`ladi. Bu usullar, qurilish va arxitektura sohasida muhim vazifalarni bajarishda juda muhim ahamiyatga ega. Ular yordamida, binolar, ko’pruklar va boshqa strukturalar qurilishida kerak bo’ladigan ma’lumotlarni aniq va samarali ravishda hisoblash mumkin. Bu, qurilish jarayonini tezlashtiradi va uning samaradorligini oshiradi. Quyida ularni hisoblashga doir ba’zi amaliy masalalarni qarab o’tamiz. 301 Jism hajmini hisoblash. Ikki karrali integralning geometrik ma’nosiga koʻra yuqoridan z = f (x,y) sirt bilan vaquyidan Oxy tekislikningyopiq D sohasi bilan Originalarticle ISSN:3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 7,issue1,Aprel 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAKIndex bazalari : research gate, research bib. Qo’shimchaindex bazalari:zenodo,open aire. googlescholar. chegaralangan silindrikjismninghajmi V = f (x,y)dxdy integral bilan aniqlanadi. D x y z 1-misol. Koordinata tekisliklari va + + =1 a b c tekislik bilan chegaralangan jismning hajmi topilsin. a >0, b >0, c >0. x y Yechish. Berilgan tenglamadan z ni topamiz. z = f(x,y)=c 1- - 1-rasmda ko’rsatilgan D a b x sohaquyidagichabo’ladi: D = x,y0 x a, 0 y b 1- a Jismhajminihisoblash formulasiga ko’ra x b(1- ) x a a x y a xy y2 b 1- a V = f (x,y)dxdy = dx c 1- - dy = c y- - dx = a b a 2b D 0 0 0 0 a bc a x x2 bc x2 x3 bc a abc = 1-2 + dx = x- + = = 2 a a2 2 a 3a2 0 2 3 6 0 . Maydon ya’ni yassi shakl yuzasini hisoblash. Oxy tekislik yopiq D sohasining, ya’ni yassi figuraning yuzi S = dxdy formula bilan hisoblanadi, D yoki qutb koordinatalarda S = rdrdj integral bilan hisoblanadi. D 2-масала. (x2 + y2)2 = 2a2(x2 - y2) lemniskata bilan chegaralangan soha yuzasi topilsin. x =rcosj Yechish. Qulaylik uchun qutb koordinatalariga o’tamiz. Bunda . Bularni berilgan y =rsinj 302 tenglamadagi х,уlaro’rniga qo’ysak, r2 = 2a2 cos2j® r= a 2cos2j kelib chiqadi. Bu yerda Originalarticle ISSN:3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 7,issue1,Aprel 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAKIndex bazalari : research gate, research bib. Qo’shimchaindex bazalari:zenodo,open aire. googlescholar. p p 3p 5p 0 r a 2cos2j, j - , , 4 4 4 4 Lemniskataning hamma choraklardagi yuzalari bir xil bo’lgani uchun 2-rasmda ko’rsatilgan D sohaning yuzasini hisoblab natijani 4ga ko’paytiramiz.. p 4 a 2cos2f p 4 p 4 S = 4 dxdy = rdrdf= 4 df rdr= 2 2a2 cos2fdf= 2a2sin2f = 2a2 0 D D 0 0 0 Massa va massa markazini topish:Oxy tekislikda sirtiy zichligi g(x,y) ga teng boʻlgan bir jinsli D plastinka berilgan bolsin. Bu plastinkaning ba’zi mexanik parametrlari ikki karrali integralningmexanik ma’nosiga koʻra quyidagi formulalar bilan aniqlanadi: 1)plastinkaning massasi m = g(x,y)dxdy; D 2)plastinkaogʻirlikmarkazining koordinatalari xg(x,y)dxdy yg(x,y)dxdy x = D , y = D ; c g(x,y)dxdy c r(x,y)dxdy D D 3-misol. Zichligi g= x + y ga teng D plastinka ogʻirlik markazining koordinatalarini toping, buyerda D: x =0, x = 2, y =0, y = 2 chiziqlarbilan chegaralangan kvadrat. Yechish:Avval plastinkaning massasini topamiz: 2 2 2 2 y2 2 ( )2 m = g(x, y)dxdy = dx (x+ y)dy = xy+ dx = (2x+2)dx = x2 +2x =8. 2 0 D 0 0 0 0 0 Plastinkaogʻirlik markazining koordinatalarini aniqlaymiz: 2 1 12 2 12 y2 x = xg(x,y)dxdy = dx (x2 + xy)dy = x2y+ x dx = c 8 8 8 2 D 0 0 0 0 2 1 2 1 x3 x2 7 303 = (x2 + x)dx = + = ; 4 4 3 2 6 0 0 Originalarticle ISSN:3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 7,issue1,Aprel 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAKIndex bazalari : research gate, research bib. Qo’shimchaindex bazalari:zenodo,open aire. googlescholar. 2 1 1 2 2 1 2 x2 y = yg(x,y)dxdy = dy (y2 + xy)dx = y2x+ y dy = c 8 8 8 2 D 0 0 0 0 2 1 2 1 y3 y2 7 = (y2 + y)dy = + = . 4 4 3 2 6 0 0 Integral hisoblash: 4-misol. x2 + y2dxdy integralni hisoblang, bu yer