FUNKSIYANING EGILISH NUQTALARI

Аннотация

This article discusses the concept of inflection points of a function, the criteria for determining them, and the importance of these points in the graph of functions. The article shows the practical side of the topic through the method of finding the inflection point using the second derivative, the theoretical foundations associated with the terms convexity and concavity, 1 35 9 International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2025 VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ and examples. This work will help students and teachers develop their skills in analyzing the graph of functions. Keywords: Inflection point of a function, convexity and concavity of a function, second- order derivative, graphic analysis. Kirish. Matematik tahlilning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lgan funksiyalar nazariyasida funksiyaning grafigini tahlil qilish orqali u haqda chuqur tasavvur hosil qilish mumkin. Bu jarayonda funksiyaning ekstremum nuqtalari, o‘sish va kamayish oraliqlari, qavariqlik (egilish) va botiqlik (bukilish) sohalari muhim o‘rin tutadi. Ayniqsa, funksiyaning egilish nuqtalari uning grafigining shaklini aniqlashda asosiy rol o‘ynaydi. Ushbu maqolada egilish nuqtasi tushunchasi, uni aniqlash usullari va amaliy misollar yordamida tahlil qilish ko‘rib chiqiladi. Bu mavzu nafaqat nazariy, balki amaliy jihatdan ham muhim bo‘lib, iqtisodiyot, fizika va muhandislik kabi fan sohalarida keng qo‘llaniladi. Egilish nuqtasi — bu nuqta funksiyaning grafigi botiq holatdan qavariq holatga yoki aksincha o‘tadigan nuqtadir. Boshqacha aytganda 1 36 0 f ( x ) funksiyaning grafigi x  c nuqtada egilish nuqtasiga ega bo‘ladi, agar: - f ( x ) ikkinchi tartibli hosila mavjud bo‘lib, - f  ( c )  0 yoki aniqlanmagan bo‘lsa, - va f  ( x ) belgisi x  0 atrofida o‘zgaradigan bo‘lsa. Egilish nuqtasini topish: 1. Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini toping: f  ( x ) 2. Nolga tenglashtiring: f  ( x )  0 3. Chiqqan yechimlarni sinov nuqtalari yordamida tahlil qiling: - Agar f (x)belgisi o‘sha nuqta atrofida o‘zgarsa, demak bu nuqta egilish nuqtasidir. Teorema: Egilish nuqtasi uchun zaruriy sharti Agar f ( x ) funksiyaning xcnuqtada egilish nuqtasi mavjud bo‘lsa, u holda: - f  ( c )  0 yoki f(c)mavjud emas. Izoh: Bu zaruriy shartdir, yetarli emas. Ya’ni, f''(c) = 0 bo‘lishi egilish nuqtasi bor degani emas. Belgining o‘zgarishi ham talab etiladi. International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2025 VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ Misol 1: 1 36 1 f ( x )  x 3 1. f  ( x )  3 x 2 2. f  ( x )  6 x 3. f  ( x )  0 ⇒ x  0 4. x  0 uchun f  ( x )  0 ; x  0 uchun f  ( x )  0 ⇒ x  0 nuqta egilish nuqtasidir. Misol 2: f ( x )  x 4 1. f  ( x )  4 x 3 2. f  ( x )  1 2 x 2 3. f  ( x )  0 ⇒ x  0 4. Har ikki tomonda f  ( x )  0 ⇒ f (x)belgisi o‘zgarmaydi ⇒ x 0 egilish nuqtasi emas. International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2025 VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ Misol 3: 1 36 2 f ( x )  x 5  5 x 1. f  ( x )  5 x 4  5 2. f  ( x )  2 0 x 3 3. f  ( x )  0 ⇒ 2 0 x 3  0 ⇒ x 0 4. Belgilarni tekshiramiz: - x  0 uchun f  ( x )  0 (masalan, x   1  f  (  1 )   2 0 ) - x  0 uchun f  ( x )  0 (masalan, x  1  f  ( 1 )  2 0 ) ⇒ x  0 nuqta egilish nuqtasidir. Egilish nuqtalari matematik analiz va uning amaliy sohalarida keng qo‘llaniladi. Quyidagi sohalarda bu tushuncha muhim rol o‘ynaydi:  Fizika – harakat traektoriyalarini tahlil qilishda.  Injeneriya – egilish momentlari, struktura kuchlanishlarini aniqlashda.  Iqtisodiyot – xarajat va daromad funksiyalarining o‘sish/tejam holatlarini tahlil qilishda.  Kompyuter grafikasi – silliq egri chiziqlarni yaratishda va geometriya asoslarini tuzishda.  Statistika va ma’lumotlar tahlili – regressiya grafigining burilish nuqtalarini aniqlashda. Xulosa Funksiyaning egilish nuqtalari grafigining geometriyasini aniqlashda asosiy rol o‘ynaydi. International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2025 VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ Egilish nuqtalarini topishda ikkinchi tartibli hosilaning nolga tenglashgan nuqtalarini aniqlab, belgining o‘zgarishini tekshirish zarur. Bu metod yordamida grafiga asoslangan analizlar, chizmalar, va optimallashtirish ishlari ancha qulay bo‘ladi.