ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация

This article discusses approximate methods for solving nonlinear equations. A software implementation of the tangent and chord method is given. Keywords: nonlinear equations, tangent method, chord method, approximate value, isolated roots, neighborhood, value of approximate root. Нелинейные уравнения часто возникают в математических моделях различных физических, экономических, инженерных и биологических процессов. Эти уравнения могут быть сложными и зачастую не допускают аналитического решения. В таких случаях применяются численные методы, которые позволяют найти приближённые решения с заданной точностью. Рассмотрим наиболее распространённые приближённые методы решения нелинейных уравнений. Пусть дано уравнение f (x)  0 , где функция f (x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале a  x b. Всякое значение , при котором f() 0, называется корнем уравнения f(x) 0. 89 International scientific journal “Interpretation and researches” Volume 1 issue 5 (51) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2 Будем предполагать, что уравнение f(x) 0 имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения f(x) 0 существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения. Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения f(x) 0 обычно складывается из двух этапов: 1. отделение корней, т. е. установление малых промежутков a,b , в которых содержится один и только один корень уравнения f (x)  0. 2. вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью  . Для отделения корней будет полезно следующее утверждение: если f :a,bR- непрерывная, строго монотонная функция и f(a)f(b)0, то на отрезке существует корень уравнения f (x)0. Укажем следующие три способа отделения корня для случая x R : 1) Составляется таблица значений функции y  f(x) на промежутке изменения аргумента x , и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения f (x) 0 находится между ними. 2) Строится график функции f(x)0 на промежутке изменения аргумента x ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях точек пересечения графика с осью OX . 3) Уравнение f(x)0 заменяется равносильным: (x)(x) . Строятся графики функций y (x) и y (x) ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекций на ось OX точек пересечения этих графиков. Метод Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Пусть мы отделили корень на отрезке  a,b  . Производные f '(x) и f ''(x) сохраняют знак на всем интервале  a,b  . Проведем касательную в точке (x , f (x )). Для того, чтобы точка пересечения касательной с осью OX лежала 0 0 внутри отрезка a,b , касательную надо проводить в точке x , где знаки f(x ) и 0 0 второй производной f ''(x ) одинаковы. Иными словами, должно выполняться 0 условие: f(x)f ''(x)0 для x= x . Новое значение приближенного корня 0 вычисляем по формуле: f(x ) x  x  k1 , k 1,2,.... k k1 f '(x ) k1 90 International scientific journal “Interpretation and researches” Volume 1 issue 5 (51) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2 Метод секущих (Метод хорд)— это модификация метода Ньютона, которая не требует вычисления производной. Вместо этого используется приближение производной через разность значений функции в двух соседних точках. Пусть мы отделили корень на отрезке  a,b . В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения x ,x ,... точек пересечения хорды с осью абсцисс. 0 1 Метод хорд является методом исключения интервалов. Пусть f(a)=A и f(b)=B. Построим хорду AB, точкой пересечения с осью абсцисс она поделит отрезок на две части. Выбираем ту часть, на границах которой функция имеет разный знак, и снова строим хорду, находим точку её пересечения с осью абсцисс и получаем новое приближение корня. Каждое новое значение приближения корня находится по формуле: ba x  a f(a) k f(b) f(a) При решении уравнения, как правило, заранее задаётся допустимая погрешность ε приближённого значения корня ξ. В процессе уточнения корня требуется найти его приближённое значение, отличающееся от точного не более чем на ε. Задание. Методом касательных и хорд найдите положительный корень уравнения с точностью до 0,001. Процесс решения данной задачи вручную будет весьма трудоёмким. Для решения этой задачи воспользуюсь программными средствами. Программная реализация метода касательных (Ньютона) ( ) ( ) ( ) Метод Ньютона обладает квадратичной скоростью сходимости, что означает, что ошибка уменьшается пропорционально квадрату предыдущей ошибки на каждом шаге. Однако метод требует вычисления производной, что иногда может быть сложным или дорогостоящим процессом. Программная реализация метода хорд ( ) 91 International scientific journal “Interpretation and researches