TAQQOSLAMA VA ULARNING XOSSALARI HAQIDA

Аннотация

Ushbu maqolada algebra va sonlar nazariyasining muhim bo’limlaridan biri bo’lgan taqqoslama tushunchasi hamda uning asosiy xossalari tahlil qilinadi.Taqqoslama sonlar nazariyasida qoldiqlar sinfi orqali modulli arifmetika bilan chambarchas bog’liq bo’lib, u turli xil matematik va kriptografik ilovalarda qo’llaniladi. Maqqolada taqqoslamaning asosiy ta’rifi, ekvivalent munosabatlari, modulli arifmetikaga oid teoremalarning isboti, Eyler, Ferma va Xitoy qoldiqlar teoremalari singari muhim natijalar tahlil qilinadi. Shuningdek, taqqoslamaning algebraic tuzilmalardagi roli, ya’ni qoldiqlar sinfi guruhlari va halqalardagi ifodalanishi ko’rib chiqiladi. Kalit so’zlar: Butun son, taqqoslama, modul, qoldiq, tenglama, tengsizlik. Аннотатция: В этой статье анализируется концепция сравнения, которая является одним из важнейших разделов алгебры и теории чисел, а также ее основные свойства. Сравнение тесно связано с модульной арифметикой через класс остатков в теории чисел, которая используется в различных математических и криптографических приложениях. В статье анализируются основные определения сравнения, отношения эквивалентности, доказательства теорем модульной арифметики, а также важные результаты, такие как теоремы Эйлера, ферма, и китайские теоремы об остатках. Также рассматривается роль сравнения в алгебраических структурах, т. е. представление классов остатков в группах и кольцах. Ключевые слова: Целое число, сравнение, модуль, остаток, уравнение, неравенство. Annotation: This article analyzes the concept of comparison, which is one of the most important sections of algebra and number theory, as well as its basic properties. The comparison is closely related to modular arithmetic through the remainder class in number theory, which is used in various mathematical and cryptographic applications. The article analyzes the basic definitions of comparison, equivalence relations, proofs of modular arithmetic theorems, as well as important results such as the Euler, Fermat, and Chinese remainder theorems. The role of comparison in algebraic structures, i.e. the representation of classes of residuals in groups and rings, is also considered. Keywords: Integer, comparison, modulus, remainder, equation, inequality Ta’rif: Bizga a va b butun sonlar m ga bo’lgandagi qoldiqlari teng bo’lsa, a va b sonlar m modul bo’yicha taqqoslanuvchi deyiladi va a≡b(modm) shaklda yoziladi. 11 ILM-FAN VA INNOVATSIYA ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/si Masalan, a=15 b= 7 sonlari m=2 modul bo’yicha taqqoslanadi, ya’ni 15≡7(mod2).a=22 b=27 sonlari m=5 modul bo’yicha taqqoslanadi, ya’ni bu ham 22≡27(mod5) kabi yoziladi. Buning ma’nosi 22 ni 5 ga bo’lgandagi qoldiq 27 ni 5 ga bo’lgandagi qoldiqqa teng deb tushunishimiz mummkin.1-xossa: a va b sonlari m modul bo’yicha taqqoslanuvchi bo’lishi uchun a-b soni m ga bo’linishi zarur va yetarli .Isbot:Haqiqatdan a va b sonlari m ga qoldiqli bo’lsa a=m*q +r, b=m*q +r 0≤r≤m-1 munosabatlarni hosil qiladi. Bu yerdan a-b=m(q -q ) 1 2 1 2 ekanligi kelib chiqadi, ya’ni a-b soni m ga bo’linadi. Demak, a va b sonlarining m modul bo’yicha taqqoslanuvchanligi a=b+m*t ekanligi teng kuchlidir. Bundan esa quyidagi xossaning o’rinli ekanligi bevosita kelib chiqadi. 2-xossa: Agar a≡b(modm) va b≡c(modm) bo’lsa, u holda a≡c(modm).Endi taqqoslamaning asosiy xossalarini keltiramiz. 3-xossa: Bir hil modulli taqqoslamalarni hadma-had qo’shish mumkin, ya’ni a≡b(modm) va c≡d(modm) bo’lsa, a+c≡b+d(modm).Isbot.Aytaylik, a≡b(modm) va c≡d(modm) bo’lsin.U holda a-b va c-d sonlari m ga bo’linadi.(a+c)-demak a+c ≡b+d(modm).4-xossa:Bir hil modulli taqqoslamalarni hadma- had ko’paytirish mumkin, ya’ni a≡b(modm) va c≡d(modm) bo’lsa a*c≡b*d (modm). Isbot:Haqiqatdan a-b va c-d sonlari m ga bo’linishidan, a*c-b*d=(a-b)*c+b*(c-d) sonining ham m ga bo’linishi kelib chiqadi. Demak, a*c≡b*d(modm).5-xossa:Taqqoslamaning xar bir hadini va modulini bir hil songa ko’paytirish mumkin, ya’ni a≡b(modm) bo’lsa a*k=b*k+m*k*t kelib chiqadi,ya’ni a*k≡b*k(modm*k) bo’ladi. Isbot.a≡b(modm) ekanligidan a=b+m*t tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikni ikkala tomonini k ga ko’paytirsak, a*k=b*k+m*k*t kelib chiqadi, ya’ni a*k≡b*k(modm*k).6-xossa. Agar a va b sonlari m modul bo’yicha taqqoslanuvchi bo’lsa, u holda ular m ning ixtiyoriy bo’luvchisi bo’yicha taqqoslanuvchi bo’ladi.Isbot. a=b+m*t ekanligidan m=m *q shartni qanoatlantiruvchi m soni 1 1 uchun a=b+m (q*t) kelib chiqadi, demak a≡b(modm ).Agar taqqoslama bir necha Modul 1 1 bo’yicha o’rinli bo’lsa, u holda bu taqqoslama shu modullarning eng kichik umumiy bo’luvchisi bo’yicha ha o’rinli bo’ladi.Agar taqqoslama biror m modul bo’yicha o’rinli bo’lsa, u holda bu taqqoslama modulning ixtiyoriy bo’luvchisi bo’ladi.Taqqoslamaning bir qismi va modulining EKUB bilan uning ikkinchi qismi va modulining EKUB i o’zaro teng bo’ladi.7-xossa.Agar a va b sonlari m ,m ,….m modular bo’yicha taqqoslanuvchi bo’lsa, u holda a va b sonlarning en 1 2 k kichik umumiy karralisi bo’yicha taqqoslanuvchi bo’ladi. Is