Математические модели и алгоритмы решения физически нелинейных задач стержней при пространственно переменном нагружении

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. В мире особое внимание уделяется созданию и усовершенствованию автоматизированных систем для оценки физико-механических свойств материалов, используемых при проектировании сооружений и конструкций. В связи с этим, сильно развивается направление эффективной организации работы проектирования на основе современных компьютерных технологий. В развитых странах мира, в том числе в США, Японии, Италии, Китае, Турции, Индии, России и др., важное значение имеют задачи создания математических моделей, алгоритмов, а также программного обеспечения для численного вычисления процессов деформирования конструкционных материалов. В мировом масштабе проводятся научные исследования, направленные на развитие и разработку обобщенных математических моделей, построение вычислительных алгоритмов, решение линейных и физически нелинейных задач конструкционных материалов при сложном нагружении. В этой связи, важнейшими задачами считаются создание компьютерных моделей и автоматизированных систем оценки совместного действия продольных, поперечных и крутильных сил на конструкционные материалы типа стержней, обоснование возникающих пластических зон в поперечных сечениях материала, определение состояния повреждаемости материалов при воздействии пространственно повторном нагружении. В нашей республике проводятся широкомасштабные мероприятия по проектированию сооружений и математического моделирования процессов вычисления, разработке эффективных вычислительных алгоритмов и созданию автоматизированных специальных программных обеспечений, служащих для оценки напряженного состояния конструкций, а также для принятия самых приемлемых технических и технологических решений с использованием современных компьютерных технологий. В Стратегии действий по дальнейшему развитию Республики Узбекистан на 2017-2021 годы определены задачи, в частности « ... проектирование и модернизация дорожно-транспортных, инженерно-коммуникационных и социальной инфраструктуры, ... внедрение информационно-коммуникационных технологий»1. При выполнении этих задач одним из важных вопросов является широкое применение современных информационных технологий к процессу проектирования, разработки многопараметрических обобщенных математических моделей, эффективных вычислительных алгоритмов и специальных автоматизированных систем, обеспечивающих решение физически нелинейных задач стержней при воздействии сложных внешних сил с учетом повреждаемости материалов. Данное диссертационное исследование в определенной степени служит выполнению задач, предусмотренных в Указе Президента Республики Узбекистан № УП-4947 от 7 февраля 2017 г. «О Стратегии действий по дальнейшему развитию Республики Узбекистан», Постановлении Президента Республики Узбекистан № ПП-1989 от 27 июня 2013 г. «О мерах по дальнейшему развитию Национальной информационно-коммуникационной системы Республики Узбекистан», Постановлении Кабинета Министров Республики Узбекистан № 24 от 1 февраля 2012 г. «О мерах по созданию условий для дальнейшего развития компьютеризации и информационнокоммуникационных технологий на местах» и других нормативно-правовых документах, принятые в данной сфере. Целью исследования является разработка математических моделей, эффективных вычислительных алгоритмов и программного обеспечения процессов физически нелинейного деформирования стержней при пространственно переменном нагружении с учетом повреждаемости материалов. Научная новизна исследования заключается в следующем: на основе уточненной теории В.К.Кабулова и вариационного принципа разработаны математические модели для решения физически нелинейных задач стержней при воздействии сложных внешних сил с учетом повреждаемости материалов; разработаны многопараметрические математические модели в виде системы из девяти нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с естественными граничными условиями исследования напряженного состояния стержней при пространственно повторном нагружении в текущих и фиктивных координатных системах; по методу упругого решения А.А.Ильюшина разработаны вычислительные алгоритмы решения физически нелинейных задач стержней с различными аппроксимациями на основе центральной разностной схемы и модификации А.А.Самарского-И.В.Фрязинова метода конечных разностей; разработаны эффективные вычислительные алгоритмы, обеспечивающие быстрое приближение к устойчивому решению, высокую степень точности, направленные к численному вычислению некоторых физически нелинейных задач стержней, описываемые математическими моделями многопараметрических дифференциальных уравнений; создана автоматизированная система, позволяющая сформировать и решить на компьютере физически нелинейные задачи стержней при различных переменных нагружениях и плоскостях с геометрическими, статическими и смешанными граничными условиями. Заключение На основе результатов исследований, проведенных по теме диссертации «Математические модели и алгоритмы решения физически нелинейных задач стержней при пространственно переменном нагружении», представлены следующие выводы: 1. На основе вариационного принципа Лагранжа и уточненной теории В.К.Кабулова разработаны математические модели физически нелинейных задач стержней с учетом повреждаемости материалов. Эти модели служат для подробного описания процессов нелинейного деформирования стержней с учетом совместного действия продольных, поперечных и крутильных сил. 2. Разработаны многопараметрические математические модели, описываемые системами нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с естественными граничными условиями, для исследования напряженного состояния стержней при пространственно переменном нагружении в текущих и фиктивных координатных системах. Эти модели обеспечивают возможность исследования напряженного состояния стержней при циклическом нагружении на основе различных подходов. 3. Разработаны вычислительные алгоритмы на основе метода конечных разностей и итерационного процесса. На основе разработанных алгоритмов решены тестовые примеры, полученные численные результаты оценены по критериям достоверности, точности и устойчивости. Также проанализированы численные результаты при различных значениях шага сетки h и проверена устойчивость вычислительных алгоритмов. Достоверность результатов обоснована путем сравнения точных и приближенных решений. Вычислительные алгоритмы обеспечивают возможность приближения к устойчивому решению по назначенной точности £ при числе узлов N=40. 4. Исследованы вычислительные алгоритмы с различными аппроксимациями. Анализ полученных численных результатов показывают, что скорость вычисления разработанных вычислительных алгоритмов метода конечных разностей по модификации А.А.Самарского-И.В.Фрязинова в 2 раза выше, а точность на 27 % больше, чем у вычислительного алгоритма, основанного на аппроксимации центральной разностной схемы. Использование этого вычислительного алгоритма МСФ обеспечивает возможность более быстрого приближения к устойчивому решению. 5. Разработаны геометрические, статические и смешанные граничные условия в скалярном и векторном виде для физически нелинейных задач стержней. А это служит для точного и подобного исследования жизненных задач, встречающихся в практике проектирования. 6. Созданы компьютерная реализация и программное обеспечение разработанных эффективных вычислительных алгоритмов. Сформулированы двадцать физически нелинейных задач конструкционных материалов типа стержня, используемых в практике проектно-изыскательных работ, и проведены численные эксперименты. При этом, решены системы п нелинейных дифференциальных уравнений, связанных с параметром п (п =2,3, ..., 9). Анализ численных результатов показывает, что решение системы девяти нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с учетом всех параметров вектора перемещений по осям ОХ , OY и OZ обеспечивает возможность подробно описать напряженное состояние и физико-механические свойства рассматриваемого объекта. А это в свою очередь служит фундаментальной основой при формировании и выдаче соответствующих прикладных предложений и рекомендаций инженерам-проектировщикам. 7. На основе принципа Мазинга-Москвитина решены нелинейные задачи стержней с учетом упругой разгрузки и вторичных пластических деформаций. Эти исследования обеспечивают возможность оценки остаточных деформаций, появляющихся в материалах, и разработать прикладные выводы. 8. На основе различных моделей переменной пластичности решены нелинейные задачи стержней при пространственно повторно-переменном нагружении. Исследованы математические модели, полученные в текущих и фиктивных координатных системах с различными граничными условиями. Настоящие исследования позволяют работать с численными результатами, т.е. полно описывающие появление зон пластичности, повреждаемости и законы их изменения в поперечном сечении стержня, также состояние его разрушения при циклических нагружениях. 9. Разработанные математические и программные обеспечения внедрены на объектах предприятий «Tashkent metroproekt», «Techno engineering expert» и «Zamin dizayn» при выполнении проектно-изыскательных работ. Результаты научных исследований обеспечили возможность сокращения срока вычислительного процесса в 2 раза и уменьшения погрешности вычислений на 18 %, что позволило повысить качество и скорость общих проектных процессов.