Собственные значения и резонансы оператора Шредингера, соответствующего системе двух частиц на решетке

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. Многочисленные научно-прикладные исследования, проводимые в мировом уровне, показывают, что всюду в физике устойчивые сложные объекты обычно образуются в результате действия сил притяжения, которые позволяют составным частям уменьшить энергию при их связывании. Однако, последние годы учеными доказан, что в упорядоченных средах устойчивые сложные объекты могут существовать даже в случае отталкивающих взаимодействий. Модель Бозе-Хаббарда, используемый для описания отталкивающих частиц, т.е. оператор Шредингера на решетке, является теоретическим обоснованием экспериментального наблюдения и теоретической базой для применения. Поэтому развитие исследования операторов Шредингера, соответствующих гамильтонианам систем двух частиц на решетке, которые встречаются в моделях физики твердого тела, а также решетчатой теории поля, является одним из приоретных направлений. Поскольку, спектр семейства двухчастичных операторов Шредингера, соответствующих гамильтонианам систем двух квантовых частиц на решетке является довольно чувствительным к изменению квазиимпульса системы, важную роль играет решение проблем, относящиеся исследований спектров этих операторов, доказать существование связанных состояний, определить их местоположение и числа связанных состояний дискретных операторов Шредингера в зависимости от квазиимпульса системы. В связи с этим реализация целевых научных исследований в следующих направлениях является одной из важных задач: исследовать дискретный спектр операторов Шредингера, соответствующих системе двух одинаковых частиц (бозонов или фермионов) системе двух частиц на одномерной и двумерной решетках с контактами потенциалами, установить пороговые явления спектра, показать существование собственных значений двухчастичного оператора Шредингера, получить разложение в виде сходящегося ряда для единственного собственного значения. В нашей стране большое внимание уделяется направлениям, имеющим прикладное значение, в частности, исследованию операторов Шредингера, соответствующих гамильтонианам систем двух частиц на целочисленной решетке. Значительные результаты были достигнуты по определению условий существования связанных состояний и их числа вне существенного спектра для операторов Шредингера, соответствующих системам двух частиц на решетке. Эта диссертация, в определенной степени, служит осуществлению задач, обозначенных в Постановлениях Президента Республики Узбекистан №-ПП-916 «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения инновационных проектов и технологий в производство» от 15 июля 2008 года, №-ПП-2789 «О мерах по дальнейшему совершенствованию деятельности Академии наук, организации, управления и финансирования научно-исследовательской деятельности» от 17 февраля 2017 года и №-УП-4947 «О стратегии действий по дальнейшему развитию Республики Узбекистан» от 8 февраля 2017 года а также в других нормативно-правовых актах по данной деятельности. Целью исследования являются получение сходящихся разложений для собственных значений вне существенного спектра оператора Шредингера, соответствующих системам двух одинаковых частиц, определенных с помощью парных короткодействующих потенциалов на одномерной и двумерной решетках. Научная новизна исследования. Доказано существование собственных значений вне существенного спектра двухчастичного оператора Шредингера, соответствующего системе двух одинаковых частиц (бозонов) с контактными отталкивающими или притягивающими взаимодействиями на одномерной и двумерной решетках, а также найден явный вид соответствующей собственной функции, показана её аналитичность; найдено разложение в сходящийся ряд в окрестности порогового значения константы (нуля) связи для собственного значения двухчастичного оператора Шредингера, соответствующего системе двух одинаковых частиц (бозонов) с контактными отталкивающими или притягивающими взаимодействиями на одномерной и двумерной решетках; определено наличие виртуального уровня (резонанса) или собственного значения на левом пороге существенного спектра двухчастичного оператора Шредингера, соответствующего системе двух частиц (фермионы) с парными взаимодействиями на соседних узлах на одномерной решетке и доказано существование собственного значения лежащего левее существенного спектра; установлены разложение в сходящийся ряд в окрестности порогового значения константы связи и квазиимпулса для собственного значения двухчастичного оператора Шредингера, соответствующего системе двух частиц (фермионы) с парными взаимодействиями на соседних узлах на одномерной решетке и доказано отсутствия собственного значения лежащего левее существенного спектра. Заключение Данная диссертация посвящена исследованию существенного и дискретного спектра оператора Шредингера, соответствующего системе двух одинаковых частиц(бозоны и фермионы) на одномерной или двумерной решетке. Основные результаты исследования состоят в следующем: 1. Установлено местонахождение существенного спектра и доказано существование собственного значения, лежащего левее или правее существенного спектра оператора Шредингера с контактным притягивающим или отталкивающим взаимодействием на одномерной и двумерной решетках. 2. Найдено разложение в сходящийся ряд в пороговом значении константы связи для собственного значения двухчастичного оператора Шредингера системы двух частиц (бозоны) с контактным притягивающим или отталкивающим взаимодействием на одномерной и двумерной решетках. 3. Показано существование или отсуствие собственного значения, лежащего левее существенного спектра двухчастичного оператора Шредингера системы двух частиц (фермионы) с взаимодействием на соседних узлах одномерной решетки. 4. Найдено разложение в сходящийся ряд в отрицательном пороговом значении константы связи для собственного значения двухчастичного оператора Шредингера системы двух частиц (фермионы) с взаимодействием на соседних узлах одномерной решетки. 5. Найдена асимптотика в окрестности порогового значения квазиимпульса для собственного значения двухчастичного оператора Шредингера системы двух частиц (фермионы).