2-JERGILIKLI ÓLSHENETUǴIN OPERATORLAR ALGEBRASINIŃ LOKAL DIFFERENCIALLASIWI

Аннотация

This article studies the concept of local differentiation of 2-local measurable operator algebras and its main properties. The concept of local differentiation of algebraic structures and operator algebras is introduced and its specific properties are analyzed. The results are theoretically proven and supported by relevant examples. Keywords: 2-local measurable operator algebra, local differentiation, operator algebra, algebraic structures, differential operators. Operatorlar algebrası zamanagóy matematikalıq analiz hám algebralıq strukturalar menen tıgız baylanıslı taraw esaplanadı. Kóplegen teoriyalıq hám ámeliy máselelerde operatorlar algebrası hám onıń differencial sıpatların úyreniw áhmiyetli. Lokal differenciallaw hám 2-lokal differenciallaw bolsa algebralıq strukturalardıń quramalı dúzilis qásiyetlerin úyreniwde úlken áhmiyetke iye. Operatorlar algebrası: Sızıqlı operatorlar kópligi menen baylanıslı algebralıq qurılıslar. 1 06 6 International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2025 VOLUME 4 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ Lokal differenciallaw bolsa : Algebralıq strukturanıń kishi bir bólegin differencial operatorlar járdeminde tekseriw. 2-jergilikli differenciallaw: Eki noqattıń operatorlar algebrası boyınsha jergilikli qásiyetlerin salıstırıw. Tiykargı teorema hám dálillewler: 1-teorema: Qálegen 2-jergilikli ólshenetuģin operatorlar algebrası ushin lokal differenciallaw bar hám bir tekli. Dálillew: Bul teoremanı dálillew ushin Banax algebraları hám olardıń spektrallıq qásiyetlerinen paydalanamız...Qálegen 2-lokal ólshemli operatorlar algebrası ushın lokal differenciallaw bar hám bir tekli. Dálillew: 1. Banax algebrası Túsinigi: - Banax algebra, yagniy norma menen toltirilgan algebralıq dúzilis. Normaga iye bolgan algebralarda hárbir element ushin spektral radius tómendegishe aniqlanadi: R (a) = \lim_{n \to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}} 2. Lokal differenciallaw túsinigi: Lokal differenciallaw – bul sızıqlı karta bolıp, tómendegi qásiyetti qanaatlandıradı D (ab) = D (a) \cdot b + a \cdot D (b) \quad \text{qálegen} \quad a, b \in \mathcal{A} D (\lambda \cdot a) = \lambda \cdot D (a) \quad \text{qálegen} \quad \lambda \in \mathbb{C} 3. Lokal differenciallawdı tabıw: 2-lokal ólshemli operatorlar algebrası ushın differenciallawdıń bar ekenligin kórsetemiz. Hár biri ushin lokal differenciallaw tómendegishe táriyiplenedi: D (a) = \lim_{t \to 0} \frac{\delta_t (a) – a}{t} 4. Bir teklilikti kórsetiw: Eger ekenligin kórsetpekshi bolsaq, sızıqlılıq hám bir teklilik qásiyetleri menen dálillew kerek. Bunda tiykarǵı ideya differencial operatorınıń sızıqlılıǵı hám skalyar kóbeymege salıstırǵandaǵı sáykesligi. Sızıqlılıq sebepli: D (\lambda \cdot a) = \lim_{t \to 0} \frac{\delta_t (\lambda \cdot a) - \lambda \cdot a}{t} = \lambda \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\delta_t (a) – a}{t} = \lambda \cdot D (a). 5. Juwmaqlawshı juwmaq: Demek, qálegen 2-lokal ólshemli operatorlar algebrası ushın lokal differenciallaw bar hám bir tekli. 1 06 7 International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2025 VOLUME 4 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ 2-teorema: Eger operatorlar algebrası úzliksiz bolsa, lokal differenciallaw da úzliksiz. Dálillew:..Eger operatorlar algebrası úzliksiz bolsa, onda lokal differenciallaw da úzliksiz. Dálillew: 1. Operatorlar Algebrası hám Úzliksizlik: Banax algebrası úzliksiz operatorlar algebrası dep ataladı, yeger ondaǵı hár bir operator úzliksiz bolsa, yaǵnıy: \|ab\| \leq \|a\| \cdot \|b\| \quad \text{qálegen} \quad a, b \in \mathcal{A} 2. Lokal differenciallaw túsinigi : Lokal differenciallaw bul sızıqlı karta bolıp tabıladı: D (ab) = D (a) \cdot b + a \cdot D (b). \|D (a) \| \leq C \cdot \|a\| \quad \text{qálegen} \quad a \in \mathcal{A} 3. Dálillewdiń tiykarģi Qádemleri : a. Sızıqlılıq hám úzliksizlik: Sızıqlı hám lokal differenciallaw qásietine ie bolsa, úzliksizlikti dálillew ushın sızıqlılıq hám normanıń úzliksizligi jetkilikli. Sızıqlılıqta D (\lambda \cdot a) = \lambda \cdot D (a). b. Úzliksizlik shárti: Banax algebrasında sızıqlı karta úzliksiz boliwi ushin oni sheklengen operator sipatında kóriw jetkilikli. Úzliksiz bolıwı ushın: \|D (a) \| \leq M \cdot \|a\| \quad \text{qálegen} \quad a \in \mathcal{A} c. Sheklenbegen jaǵdayda: Eger sheklenbegen bolsa, úzliksizlik shárti buzıladı. Biraq, operatorlar algebrasınıń úzliksizligi sebepli qálegen sızıqlı karta úzliksiz bolıwı kerek. d. Úzliksizlikti dálillew: Eger elementler izbe-izligi ge jaqınlassa, yagniy \lim_{n \to \infty} \|a_n – a\| = 0 \lim_{n \to \infty} \|D (a_n) – D (a) \| = 0 Juwmaqlawshı juwmaq: Operatorlar algebrasınıń úzliksizligi sebepli, ogan tiyisli lokal differenciallaw da úzliksiz boladı. 1 06 8 International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2025 VOLUME 4 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ Misallar hám tallawlar: 1. Matricalar algebrasında lokal differenciallaw hám oniń geometriyalıq interpretaciyası. 2. Integrallıq operatorlar