ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ (Л) С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ЧЛЕНОМ

Аннотация

В данной работе метод обратной спектральной задачи применяется для интегрирования нелинейного уравнения Лиувилля (Л) с дополнительным членом в классе периодических бесконечнозонных функций. Доказано разрешимость задачи Коши для бесконечной системы дифференциальных уравнений Дубровина в классе три раз непрерывно дифференцируемых периодических бесконечнозонных функций. Показано, что сумма равномерно сходящегося функционального ряда построенного с помощью решения системы уравнений Дубровина и формула первого следа, удовлетворяет уравнения Л с дополнительным членом. Ключевые слова: Уравнение Лиувилля (Л) с дополнительным членом, оператор Дирака, спектральные данные, система уравнений Дубровина, формулы следов. В настоящей работе рассматривается задача Коши для уравнения Лиувилля с дополнительными членоми вида: 321 q x t  a e q  b q x x , q  q ( x , t ) , x  R , t  0 (1) с начальным условием q ( x , t ) t 0 q 0 ( x ) , q 0 ( x ) q 0 ( x ) C 3 ( R )      (2) в классе действительных бесконечнозонных - периодических по xфункций: q(x,t)q(x,t), q(x,t)C2,1(t 0)C(t 0). (3) x,t Здесь a  0 , b - константы. В данной работе предлагается алгоритм построения периодических бесконечнозонных решений q(x,t), xR, t 0, задачи (1)-(3) сведением ее к обратной спеткральной задачи для оператора Дирака: dy L(,t)y  B (x,t)y y, xR, t 0,R, (4) dx где  0 1 P(x,t) Q(x,t)  1 B    , (x,t)    , P(x,t)0, Q(x,t)  q(x,t) . 1 0 Q(x,t) P(x,t) 2 x Обозначим через c(x,,,t) (c (x,,,t),c (x,,,t))T и 1 2 s(x,,,t) (s (x,,,t),s (x,,,t))T решения уравнения (4) с начальными условиями 1 2 c(0,,,t) (1,0)T и s(0,,,t) (0,1)T . Функция (,,t)c (,,,t)s (,,,t) называется функцией Ляпунова для уравнения (4). 1 2 Спектр оператора Дирака L(,t) чисто непрерывен и состоит из множества “YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA 2025-YIL YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI” 28-29-MART Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi 322  L   R : ( ) 2  R \ n 2 n 1 , 2 n . Интервалы ( 2 n 1 , 2 n ) , n Z \  0     , называются лакунами, где n , корни уравнения ( ) 2 0    . Они совпадают с собственными значениями периодической или антипериодической y(0,,,t) y(,,,t) задачи для уравнения (4). Нетрудно доказать, что   0, т.е. 0 является двукратным собственным значением 1 0 периодической задачи для уравнения (4). Корни уравнения s 1 ( , , , t ) 0   обозначим через (,t),nZ \0 и при этом n n ( , t ) [ 2 n 1 , 2 n ] , n Z \  0        . Так как коэффициент в уравнения (4) имеет вид P ( x , t )  0 , Q ( x , t )  1 2 q x ( x , t ) , то справедливо 1 0 0 0       , т.е. 0   является собственным значением задачи Дирихле. Числа (,t),nZ \0 , и знаки n n ( , t ) s i g n { s 2 ( , n , , t ) c 1 ( , n , , t ) } ,         n  Z \  0  называются спектральными параметрами оператора L(,t). Спектральные параметры n ( , t ) , n ( , t ) 1 , n Z \  0         и границы спектра n ( , t ) , n Z \  0     , называются спектральными данными оператора Дирака L ( , t )  . Задача восстановление коэффициента x,t оператора L ( , t )  по спектральным данным называется обратной задачей. Если с помощью начальной функции q (x),R, построим оператор Дирака 0 L ( , 0 )  вида L ( , 0 ) y B d d y x 0 ( x ) y y , x R , R            , B  0 1 1 0 ,  0 ( x )  1 2 q 0 0 ( x ) q 0 ( 0 x )  , y  y 1 2 то мы увидим, что границы спектра n ( ) , n Z    , полученной задачи не зависят от параметра R, т.е. (), nZ, а спектральные параметры от параметра  n n зависят: 0 0(), 0 0()  1, nZ, и являются периодическими функциями: n n n n 0() 0(), 0() 0(), R, nZ. n n n n Решая прямую задачу, находим спектральные данные ,0(),0(), nZ оператора L(,0). n n n Лемма 1. Справедливы следующие формулы следов: q,t2  1k1  ,th  ,t , (5)  k k k0 “YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA 2025-YIL YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI” 28-29-MART Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi 1  2 1  2 2   q ,t   q ,t   2k1 2k 2,t . (6) 2   2   2 k  k0 Основной результат настоящей работы содержится в следующей теореме. Теорема 1. Пусть 323 q ( x , t ) , x  R , t  0 , решение задачи (1)-(3). Тогда границы спектра оператора L ( , t )  не зависят от параметров  и t т.е. n ( , t ) n , n Z \ { 0 } ,      а спектральные параметры n n ( , t ) , n n ( , t ) 1 , n Z \ { 0 }            удовлетворяют соответственно первому и второму системы дифференциальных уравнений Дубровина: n 2 ( 1 ) n 1 n ( , t ) ( n 2 n 1 ) ( 2 n n ) f n n , n Z \ { 0 }   ; (7) t n 2 ( 1 ) n n ( , t ) ( n 2 n 1 ) ( 2 n n ) f n   g n   , n Z \ { 0 }   . (8) Кроме того, выполняются следующие начальные условия n ( , t ) t 0 0n ( ) , n ( , t ) t 0 0n ( ) , n Z \  0  