PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR UCHUN BOSHLANG’ICH CHEGARAVIY SHARTLAR

Аннотация

This article analyzes initial and boundary conditions for parabolic equations separately. Thestudy examines the impact ofvarious conditions onthe solutions ofthe equations. Additionally, the consistency of initial and boundary conditions and their role in mathematical modeling are evaluated. The findings provide a significant scientific basis for both theoretical and practical solutions of parabolic equations and are applicable in modeling physical processes suchas heat conduction, diffusion, andother phenomena. Keywords: Parabolic equations, initial conditions, boundary conditions, stability, solution existence, mathematical modeling, heat conduction, diffusionprocesses. Kirish. (Introduction) Parabolik tipdagi tenglamalar zamonaviy matematik fizikaning asosiy bo‘limlaridan biri hisoblanadi va ko‘plab tabiiy va texnik jarayonlarni modellashtirishda muhim ahamiyat kasb etadi. Ushbu tenglamalar issiqlik o‘tkazuvchanlik, diffuziya jarayonlari, ekologik modellashtirish va boshqa ko‘plab sohalarda qo‘llaniladi. Ularning yechimlari korrekt bo‘lishi uchun boshlang‘ich va chegaraviy shartlarni to‘g‘ri qo‘yish alohida ahamiyatga ega. Mazkur maqolada parabolik tipdagi tenglamalar uchun boshlang‘ich va chegaraviy shartlar qo‘yishning nazariy va amaliy masalalari ko‘rib chiqiladi. Ushbu maqola, bir tomondan, matematik qiziqish uyg‘otuvchi mavzu sifatida, boshqa tomondan esa, turli jarayonlarni modellashtirishda amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan mavzu sifatida dolzarbdir. Shu bilan birga, maqolada qo‘llaniladigan usullar va yondashuvlar boshqaturdagi tenglamalar uchun ham keng qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan umumiy nazariy asoslarni shakllantirishga xizmat qiladi. Mqolada davomida parabolik tenglamalar uchun klassik yondashuvlar, ularning yechimlarini aniqlashda yuzaga keluvchi muammolar va ularni hal qilish usullari batafsil yoritiladi. Shu bilan birga, boshlang‘ich va chegaraviy shartlarning tenglamalar yechimiga ta’siri o‘rganiladi. Bu esa, ko‘p hollarda, real fizik yoki texnik masalalargayechim topishdamuhimrol o‘ynaydi. www.wordlyknowledge.uz ILMIYMETODIK JURNAL JOURNAL OFIQRO –ЖУРНАЛ ИҚРО –IQRO JURNALI –volume 14,issue02,2025 ISSN:2181-4341, IMPACT FACTOR( RESEARCH BIB )–7,245,SJIF–5,431 Tadqiqotmetodologiyasi (Research Methodology) l Issiqlik tarqalish jarayoni sodir bo’layotgan uzunligi bo’lgan sterjenni qaraylik. Sterjenning o’qi sifatida Ox absissa o’qini olamiz. Faraz qilaylik, ixtiyoriy vaqtda sterjenning barcha nuqtasida birxil harorat saqlansin. Sterjenning ixtiyoriy x nuqtasining t vaqtdagi temperaturasini u = u(x,t) deb belgilaylik. Agar sterjenning issiqlik sig’imi C , uning zichligi r, sterjenning issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisenti k hamda ichki issiqlik manbaining zichligi F bo’lsa, u holda u(x,t) funksiya quyidagi biro’lchovli ¶u ¶ ¶u cr = (k )+ F , 0 0 ¶t ¶x ¶x Issiqlik tarqalish tenglamasini qanoatlantirilishiniko’rsatish qiyin emas. Umuman olganda, c,r,k va F parametrlar x,t va u ning funksiyasi bo’ladi. Ko’plab taqbiqiy masalalarda bu funksiyalar sterjenda temperaturaning o’zgarishi bilan juda sokin o’zgaradi va c,r,k funksiyalar t vaqtga bog’liq bo’lmaydi. Shuning uchun ular faqat x o’zgaruvchining funksiyasi, F ni esa x va t ga bog’liq deb olish mumkin. Agar qaralayotgan l uzunlikdagi sterjen bir jinsli bo’lsa u holda c,r,k funksiyalar o’zgarmasga teng bo’ladi va yuqoridagi tenglamani ¶u ¶2u Lu = -a2 = f (x,t) (1) ¶t ¶x2 k F ko’rinishda yozib olishimizmumkin.Bu yerda a2 = , f = cr cr Agar sterjenning harorati barcha nuqtasidabir xil bo’lmasa, u holdasterjenda issiqlik oqimisodir bo’ladi. Bunda issiqlik oqimi sterjenning yuqori haroratli nuqtasidan past haroratli nuqtasi tomonga yo’nalgan bo’ladi. Sterjenning x ko’ndalang kesimi orqali birlik vaqtda Ox o’qi bo’ylab o’tayotgan issiqlik miqdori uchun ¶u(x,t) q(x,t) = -k(x) formula o’rinli bo’ladi. Bu yerda q(x,t) funksiya issiqlik oqimining zichligi deyiladi. Agar sterjenning x nuqtasi orqali (t ,t +dt) vaqtda issiqlik Ox bo’ylab tarqalayotgan 0 0 0 bo’lsa, uholda q(x,t) funksiyasi (x ,t ) nuqtaatrofida musbat, aks holda manfiy deb olinadi. 0 0 www.wordlyknowledge.uz ILMIYMETODIK JURNAL JOURNAL OFIQRO –ЖУРНАЛ ИҚРО –IQRO JURNALI –volume 14,issue02,2025 ISSN:2181-4341, IMPACT FACTOR( RESEARCH BIB )–7,245,SJIF–5,431 Sterjenda issiqlik tarqalishini to’la aniqlash uchun (1) tenglamaning o’zi yetarli bo’lmaydi. Buning uchun sterjenning boshlang’ich temperaturasini va uning uchlaridagi issiqlik rejimini bilish zarur bo’ladi. Faraz qilaylik, t =0 vaqtda sterjenning x nuqtadagi haroratij(x) bo’lsin. Uholda u(x,0) =j(x) 0 x l (2) boshlang’ich shart beriladi. Sterjenning x = 0 va x = l chetlarida uning harorati yoki issiqlik oqimining zichligi ma’lumbo’lishiyoki atrof-muhit bilan issiqlik almashinish shartlarini berish mumkin. Agar sterjenning x = 0 uchida m(t) etmperatura va x = l uchida issiqlik oqimining 1 zichligi n(t) ma’lum bo’lsauholda 1 ¶u(l,t) u(0,t) =m(t), -k(l) =n(t) (3) 1 ¶x 1 chegaraviy shartlar beriladi. Agar sterjenning x = 0 va x = l uch