Вероятностные модели для решения краевых задач для уравнений эллиптического и параболического типов

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. Многие научно-прикладные исследования, проводимые на мировом уровне, во многих случаях приводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных втрого порядка и численное решение таких задач методом статистического моделирования (методом Монте Карло) имеет важное значение. Под численным статистическим моделированием понимают реализацию с помощью компьютера вероятностной модели некоторого объекта с целью оценивания изучаемых характеристик на основе закона больших чисел. Метод Монте-Карло естественно применяется при моделировании любого процесса, на протекание которого влияют случайные факторы, пример тому множество научно-практических исследований, проводимые в мировом масштабе, в частности, применение метода при решении задач статистической физики, теории турбулентности, теории переноса. В годы независимости в нашей стране усилилось внимание к актуальным научным направлениям, имеющим прикладное значение. В настоящее время метод статистического моделирования имеет необычайно широкий спектр приложений: задачи переноса излучений (ядерные реакторы, атмосферная оптика), задачи газовой динамики (метод Бёрда, моделирование процессов коагуляции), задачи финансовой математики (моделирование управления ценными бумагами и рыночных ситуаций), задачи массового обслуживания (моделирование сложных производственных систем, систем связи и компьютерных сетей) и развитие исследований в этих направлениях является актуальной задачей современной науки. В постановлении Кабинета Министров обозначены «Основные задачи и направления ведения научных исследований на уровне международных стандартов по приоритетным направлениям теории вероятностей и математической статистики, прикладной математики и математического моделирования»1. Для обеспечения исполнения постановления имеет важное значение развитие численных методов, вычислительной математики, теории вероятностей и статистического моделирования. В настоящее время важной задачей является расширение области применения алгоритмов метода Монте-Карло для различных задач математической физики, особенно на случай нелинейных краевых задач. Численное решение таких нелинейных задач обычно связано со значительными трудностями. Разработка, развитие и использование методов статистического моделирования, наряду с детерминированных методами, является актуальной задачей и позволяет получать численные результаты при решении прикладных задач, соответствующим постоянно усложняющимся моделям теории газовой динамики, финансовой математики, биологии и других сфер. Научные исследования, проводимые в вышеупомянутых направлениях, подтверждают актуальность темы диссертации. Эта диссертация, в определенной степени, служит осуществлению задач, обозначенных в Постановлениях Президента Республики Узбекистан №-ПП-916 «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения инновационных проектов и технологий в производство» от 15 июля 2008 года, №-ПП-2789 «О мерах по дальнейшему совершенствованию деятельности Академии наук, организации, управления и финансирования научно-исследовательской деятельности» от 17 февраля 2017 года и №-УП-4947 «О стратегии действий по дальнейшему развитию Республики Узбекистан» от 8 февраля 2017 года а также в других нормативно-правовых актах по данной деятельности. Целью исследования является построение и обоснование вероятностных моделей для решения краевых задач для нелинейных уравнений и линейных систем в частных производных второго порядка эллиптического и параболического типов Научная новизна исследования заключается в следующем: получены вероятностные представления для решения первой и второй краевых задач для нелинейных уравнений эллиптического типа в виде бесконечного степенного ряда; на основе вероятностных представлений построены несмещенные оценки для решения задач в заданной точке; разработаны численные методы, основанные на вероятностной модели решения краевых задач для нелинейных уравнений эллиптического типа; получены вероятностные представления для решения краевых задач для нелинейных уравнений параболического типа в виде бесконечного степенного ряда с постоянными и переменными коэффициентами; на основе полученных представлений построены несмещенные оценки для решения задач в заданной точке; разработаны численные методы, основанные на вероятностной модели решения краевых задач для нелинейных уравнений параболического типа с постоянными и переменными коэффициентами; получено вероятностное представление для решения краевой задачи для эллиптической системы уравнений эллиптического типа; на основе вероятностного представления на траектории случайного сферического процесса построена несмещенная оценка для решения задачи в заданной точке и разработан численный метод; получено вероятностное представление для решения краевой задачи для системы уравнений параболического типа; на основе представления на траектории случайного процесса блуждания по сфероидам построена несмещенная оценка для решения задачи в заданной точке, разработана схема численного решения. Заключение Диссертационная работа посвящена построению вероятностных моделей решений краевых задач нелинейных уравнений и линейных систем параболического и эллиптического типов. Основные результаты исследования состоят в следующем. Для нелинейных задач получены вероятностные представления решений задач в виде математического ожидания случайных величин; в соответствии с вероятностными представлениями построены ветвящиеся процессы, заданы моделирующие формулы для ветвящихся процессов; доказано, что ветвящиеся процессы с вероятностью единица вырождаются и среднее число частиц п ого поколения для этих процессов меньше единицы; построены несмещенная оценка на траектории случайного процесса и г смещенная оценка на процессе с меньшим числом ветвлений; полученные оценки решения имеют ограниченную дисперсию, строится на траекториях ветвящегося процесса с ограниченным средним числом ветвлений и легко моделируется; используя аппарат теории мартингалов и марковских моментов, доказывается несмещенность и ограниченность дисперсии построенных оценок; в отличие от классического способа, предложенный в работе рекуррентный способ задания оценок при решении нелинейных задач, имеет ряд важных преимуществ, таких так: компактность математической записи, избежание громоздкого описания структур самих деревьев, удобность для применения аппарата теории мартингалов, малый объем, требуемой машинной памяти и простота реализаций оценок; разработаны алгоритмы случайного блуждания по сфероидам для решения первой краевой задачи для системы параболических уравнений; на основании формулы о среднем, получено вероятностное представление задачи в виде математического ожидания случайной величины; разработаны алгоритмы случайного блуждания по сферам для решения задачи Дирихле для системы эллиптических уравнений; на основании формулы Грина для шара осуществляется переход от системы дифференциальных уравнений к системе интегральных уравнений; в соответствии с вероятностными представлениями построены случайные процессы, заданы моделирующие формулы для процессов и определены алгоритмы моделирования; доказано, что координаты случайного процесса блуждания по сфероидам образуют цепь Маркова, доказана сходимость процесса к границе данной области; на траекториях случайных процессов строятся несмещенные и малосмещенные оценки; используя аппарат теории мартингалов и марковских моментов, доказывается несмещенность и ограниченность дисперсии построенных оценок; в отличии от классических векторных методов Монте-Карло, в предложенном способе построения оценок, не используются матричные «веса», что значительно сокращает объем вычислительной работы; предложен метод оценивания рациональной стоимости опциона на несколько рисковкх активов, основанный на построении Марковской цепи с поглощением, аппроксимирующий решение этой системы так, что математическое ожидание определенного функционала от траектории цепи близко к решению исходной задачи; для метода получены теоремы сходимости с указанием порядка точности относительно шага аппроксимации.