Существеный и дискретный спектр одной обобщенной модели Фридрихса

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. Многие научно-прикладные исследования, проводимые на мировом уровне, приводятся к исследованию обобщенных моделей Фридрихса, соответствующих системе с несохраняющимся числом частиц на решетке. Модель Бозе-Хаббарда, в частности, двухчастичные операторы Шредингера на решетке, используемые для описания существования устойчивых сложных объектов в упорядоченных средах, является теоретическим обоснованием экспериментального наблюдения и теоретической базой для применения. Поэтому развитие исследования операторов Шредингера, соответствующих системам частиц на решетке, и обобщенных моделей Фридрихса, которые встречаются в моделях физики твердого тела, а также квантовой теории поля и спектральной теории самосопряженных операторов, является одним из приоритетных направлений. В нашей стране за годы независимости большое внимание уделялось и продолжает уделяться направлениям, имеющим фундаментальное и прикладное значения современного математического анализа. В частности, особое внимание было уделено исследованию моделей Фридрихса, соответствующих системам с сохраняющимся и несохраняющимся числом частиц. Значительные результаты были достигнуты по нахождения непрерывного спектра, собственных значений, появления и поглощения собственных значений, число собственных значений обобщенных моделей Фридрихса. Проведение научных исследований по приоритетным направлениям математических наук, на уровне международных стандартов по математике, физике, прикладной математике, обозначено основной задачей и направлением деятельности2. Развитие квантовой теории поля и спектральной теории линейных операторов играет важную роль в исполнении постановления. В настоящее время в мире одной из важнейших задач математического анализа и его приложения является задача об исследовании спектров и резонансов самосопряженных операторов. Следует отметить, что эта задача имеет тесную связь с исследованием спектров и резонансов обобщенной модели Фридрихса, соответствующей системе, состоящей из не более чем двух частиц на решетке. В частности, в настоящее время актуальную роль играет определение обобщенной модели Фридрихса, соответствующей системе, состоящей из не более чем двух частиц на решетке, с помощью двухчастичного оператора Шредингера с контактным взаимодейтвием, как самосопряженный ограниченный оператор и исследование её спектральных свойств. В связи с этим реализация целевых научных исследований в следующих направлениях является одной из важных задач: описывать местонахождение существенного спектра обобщенной модели Фридрихса, соответствующей системе состоящей из не более чем двух частиц на решетке; устанавливать число собственных значений вне существенного спектра в зависимости от параметров оператора и размерности рассматриваемого пространства. Эта диссертация, в определенной степени, служит осуществлению задач, обозначенных в Постановлениях Президента Республики Узбекистан №-ПП-916 «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения инновационных проектов и технологий в производство» от 15 июля 2008 года, №-ПП-2789 «О мерах по дальнейшему совершенствованию деятельности Академии наук, организации, управления и финансирования научно-исследовательской деятельности» от 17 февраля 2017 года и №-УП-4947 «О стратегии действий по дальнейшему развитию Республики Узбекистан» от 8 февраля 2017 года а также в других нормативно-правовых актах по данной деятельности. Целью исследования является изучение местонахождения существенного спектра и число собственных значений вне существенного спектра одной обобщенной модели Фридрихса, соответствующей системе, состоящей из не более чем двух частиц на решетке, в зависимости от параметров оператора. Научная новизна исследования состоит в следующем: Изучено местоположение существенного спектра одной обобщенной модели Фридрихса, соответствующей системе, состоящей из не более чем двух частиц на решетке, определенной с помощью операторов рождения и уничтожения, а также двухчастичного дискретного оператора Шредингера с контактным взаимодействием и взаимодействием на соседних узлах. Показано существование по крайней мере одного собственного значения вне существенного спектра одной обобщенной модели Фридрихса, ассоциированной системе, состоящей из не более чем двух частиц на одномерной и двухмерной решетках, определенной с помощью операторов рождения и уничтожения, а также двухчастичного дискретного оператора Шредингера с контактным взаимодействием. Установлено наличие или же, отсутствие собственного значения вне существенного спектра, обобщенной модели Фридрихса, ассоциированной системе, состоящей из не более двух частиц на решетке размерности не меньше трех, определенной с помощью операторов рождения и уничтожения, а также двухчастичного дискретного оператора Шредингера с контактным взаимодействием, в зависимости от параметров оператора. Доказано существование по крайней мере одного собственного значения вне существенного спектра, и наличие или отсутствие второго собственного значения одной обобщенной модели Фридрихса, ассоциированной системе, состоящей из не более двух частиц на одномерной и двухмерной решетках, определенной с помощью операторов рождения и уничтожения, а также двухчастичного дискретного оператора Шредингера, с контактным взаимодействием и взаимодействием на соседних узлах, в зависимости от параметров оператора. Заключение Данная диссертация посвящена исследованию существенного и дискретного спектров модели Фридрихса, соответствующей системе, состоящей из не более двух частиц. Основные результаты исследования состоят в следующем: 1. Найдено местонахождение существенного спектра одной обобщенной модели Фридрихса, соответствующей сестеме, состоящей из не более двух частиц на решетке, взаимодействующей с помощью операторов рождения и уничтожения, двухчастичного оператора Шредингера, с контактным потенциалом и с взаимодействием в соседних узлах. 2. Установлено, что существует по крайней мере одно собственное значение вне существенного спектра одной обобщенной модели Фридрихса, соответствующей системе, состоящей из не более двух частиц на одномерной и двухмерной решетках, взаимодействующей с помощью двухчастичного оператора Шредингера, с контактным потенциалом. 3. Установлено наличие или же, отсутсвие собственного значения вне существенного спектра, обобщенной модели Фридрихса, ассоциированной системе, состоящей из не более двух частиц на решетке размерности не меньше трех, взаимодействующих с помощью двухчастичного оператора Шредингера с контактным взаимодействием, в зависимости от параметров оператора. 4. Доказано существование по крайней мере одного собственного значения вне существенного спектра, и наличие или отсутствие второго собственного значения одной обобщенной модели Фридрихса, ассоциированной системе, состоящей из не более двух частиц на одномерной и двухмерной решетках, взаимодействующих с помощью операторов рождения и уничтожения, двухчастичного оператора Шредингера, с контактным взаимодействием, и взаимодействием на соседних узлах, зависимости от параметров оператора. 5. Установлены, что собственные значения и соответствующие собственные векторы рассматриваемого оператора, являются аналитическими функциями квазиимпульса. Полученные выводы о собственных функций обобщенной модели Фридрихса, могут быть использованы при исследовании качественных свойств экспериментальных наблюдений и численных вычислений в физике твердого тела и квантовой механики.