Задача Коши для линейных эллиптических систем первого порядка.

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. Многие научно-прикладные исследования, проводимые на мировом уровне, во многих случаях сводится к исследованию некорректных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Объектом прикладных исследований на условную корректность и построений приближённого решения по заданным значениям на части границы области, среди эллиптического типа уравнений, особенно важно в гидродинамике, геофизике, электродинамике. Изучение решений некорректных задач семейства регуляризирующих решений послужило импульсом для начала исследований класса корректности при сужении до компакта. В связи со сложностью процессов, связанных с исследованием задачи Коши для линейных эллиптических систем первого порядка в пространственной области, для этих некорректных задач развития исследования остается одним из важных задач. В настоящее время в мире проведение исследований при решении некорректных краевых задач для линейных эллиптических систем первого порядка особую роль играет построение регуляризованного решения, критерия разрешимости. В этом целевом научном исследовании основными являются следующие направления: в бесконечной области с некомпактной границей получить интегральное представление для обобщенной системы Моисила-Теодореско, обобщенной системы Коши-Римана, однородной системы уравнений Максвелла; построение в специальных областях решения задачи Коши данных систем, причем построение матрицы Карлемана в явном виде, а также оценки условной устойчивости решений этой задачи и критерия разрешимости. В годы независимости в нашей стране особое внимание было уделено актуальное внимание дифференциальным уравнениям и математической физики, которые имеют практическое применение в фундаментальных науках, а также исследованиям различных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. В итоге были получены весомые результаты в исследованиях некорректных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, а также построены их приближенные решения при использовании матриции Карлемана в явном виде по приближенным данным в специальных областях, оценок условной устойчивости и критериев разрешимости решений. Проведение научных исследований на международном уровне по важным направлениям «Дифференциальных уравнений и математической физики» как основная задача фундаментальных исследований1. Развитие теорий дифференциальных уравнений в частных производных, теорий условно корректных задач играют важную роль в исполнении постановления. Эта диссертация, в определенной степени, служит осуществлению задач, обозначенных в постановлениях Президента Республики Узбекистан №-ПП-916 «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения инновационных проектов и технологий производства» от 15 июля 2008 года, №-ПП-2789 «О мерах по дальнейшему совершенствованию деятельности Академии наук, организации, управления и финансирования научно-исследовательской деятельности» от 17 февраля 2017 года и №-УП-4947 «О стратегии действий по дальнейшему развитию Республики Узбекистан» от 8 февраля 2017 года а также в других нормативно-правовых актах по данной деятельности. Целью исследования является получение в ограниченной и неограниченной области регуляризованное решение, критерий разрешимости задачи Коши для линейных эллиптических систем первого порядка. Научная новизна исследования заключается в следующем: получена интегральная формула Коши для обобщенно голоморфного и обобщенно потенциального вектора, а также интегральная формула Стрэттона-Чу для однородной системы уравнений Максвелла в бесконечной области с некомпактными границами; построена регуляризованные решения задачи Коши и доказан критерий разрешимости для обобщенной системы уравнений Коши-Римана в многомерной ограниченной и неограниченной областях. для обобщенной системы уравнений Моисила-Теодореско получен аналог формулы Карлемана, при помощи которого построена регуляризация решения задачи Коши и доказан критерий разрешимости решения задачи Коши; построены формулы Карлемана и регуляризация решения задачи Коши для однородной системы уравнений Максвелла. Найден аналог теоремы Фока-Куни для однородной системы уравнений Максвелла; решена задача Коши для обобщенной системы уравнений Коши-Римана, однородной системы уравнений Максвелла и Дирака в гармоническом режиме с комплексным кватернионным параметром. Заключение Диссертационная работа посвящена исследованию некорректных задач для обобщенной системы Моисила-Теодореско, обобщенной системы Коши-Римана в многомерном пространстве и с комплексно кватернионным параметром, однородной системы уравнений Максвелла и Дирака, гармонических электромагнитных и спинорных полей. Основные результаты исследования состоят в следующем: 1. Доказана интегральная формула Коши для обобщенных голоморфного и потенциального векторов в бесконечной области типа слоя. 2. Доказана задача регуляризации для обобщенной системы Моисила-Теодореско в ограниченной и бесконечной областях. 3. Доказан критерий разрешимости решения задачи Коши для обобщенной системы уравнений Моисила-Теодореска. 4. Построены формула Карлемана и регуляризация решения задачи Коши для обобщенной системы Коши-Римана в многомерной области (п > 3) по их значениям на куске границы. 5. Построены формула Карлемана и регуляризация решения задачи Коши для однородной системы уравнений Максвелла. Найден аналог теоремы Фока-Куни для однородной системы уравнений Максвелла. 6. Решена граничная задача по заданным значениям на части границы для обобщенной системы уравнений Коши-Римана, гармонических электромагнитных и спинорных полей с комплексно кватернионным параметром.