БЕРНУЛЛИ СХЕМАСИ УЧУН ЛИМИТ ТЕОРЕМАЛАР

Аннотация

Мақолада Бернулли схемасининг асосий ғояси ва боғлиқсиз тажрибалар кетма-кетлигида ҳодиса рўй бериш эҳтимоллиги учун Бернулли формуласи деб аталадиган формула келтириб чиқарилган . Бернулли формуласи эҳтимолликлар назариясининг классик формулаларидан бири бўлиб, у нисбатан кичик сондаги тажрибалар сериясида ҳодиса эҳтимоллигини бевосита ҳисоблаш имконини беради. Хусусан, янги натижа ҳисобланган 1.1 теореманинг исботи келтирилган, унда муваффақиятлар сонининг тоқ сонда бўлиши эҳтимоллигини ҳисоблаш имконини берувчи формула келтириб чиқарилган. Калит сўзлар: Ҳодисалар, тажрибалар, тажрибалар кетма-кетлиги, ҳодиса рўй бериш эҳтимоллиги, Бернулли формуласи, эҳтимолликларнинг классик, статистик таърифи, детерминистик доимийлик, статистик доимийлик Эҳтимолликлар назариясининг предмети тасодифий ҳодисаларни математик анализ қилишдан иборат. Тасодифий ҳодисалар, ўз навбатида шундай эмпирик феноменларки, улар берилган муайян шартлар комплексида қуйидагича характерланади: • улар учун детерминистик доимийлик йўқ, яъни улар устида олиб борилган кузатишлар ҳар доим ҳам бир хил натижага олиб келмайди; • айни вақтда улар статистик доимийлик хоссасига эга (бу ҳолат частоталарнинг статистик турғунлигида намоён бўлади). Замонавий эҳтимолликлар назарияси шаклланишининг ҳақиқий тарихи Я.Бернулли (1654–1705) томонидан 1713 йилда чоп этилган «Арс Cонжеcтанди» («Тасаввур санъати») номли ишидан бошланади. Бу ишда Бернулли эҳтимолликлар назариясининг биринчи лимит теоремаси бўлган катта сонлар қонунини баён қилади ва унинг тўлиқ исботини беради. Бироз кейинроқ, 1730 йилда Муавр (1667–1754) чоп этган «Мисcелланеа Аналйтиcа Супплементум» (тахминий таржимаси «Аналитик усуллар» ёки «Аналитик қоришма») номли ишида эҳтимолликлар назариясининг марказий лимит 118 International scientific journal “Interpretation and researches” Volume 2 issue 22 (44) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2 теоремаси илк бор симметрик Бернулли схемаси учун баён қилинган ва исботланган. Таъкидлаш ўринлики, Я.Бернулли биринчи бўлиб такрорий тажрибаларнинг чексиз кетма-кетлигини қарашнинг муҳим жиҳатлигини сезган (Бернулли схемасининг асосий ғояси) ва ҳодисанинг эҳтимоллиги билан унинг частотаси орасидаги фарқни аниқ асослаган. 1812 йилда Лапласнинг (1749–1827) «Тҳеорие Аналйтиқуе дес Пробабилитéс» («Эҳтимолликларнинг аналитик назарияси») номли йирик трактати нашрдан чиқди. Бу асарда у ўзининг ва ўзидан олдинги олимларнинг эҳтимолликлар назарияси соҳасидаги натижаларини эълон қилган. У, хусусан, Муавр теоремасини Бернулли схемасининг умумий ҳоли учун умумлаштирган. Бу билан Лаплас Муавр натижасининг аҳамиятини тўла очиб берган. Лапласнинг эҳтимолий усулларнинг хатоликлар назариясига тадбиқлари бўйича ишлари эҳтимолликлар назарияси ривожига муҳим ҳисса бўлиб қўшилди. Мазкур мақолада Бернулли схемаси учун классик лимит теоремалар ҳақида фикр юритилган бўлиб, унда Я.Бернуллининг катта сонлар қонуни ва унинг турли хил умумлашмалари, Муавр ва Лаплас томонидан олинган классик натижалар баён қилинган. Фараз қилайлик муайян шатрларда n та боғлиқсиз тажрибалар ўтказилаяпти. Бу тажрибаларнинг ҳар бирида икки хил натижа кутилади: p эҳтимоллик билан «муваффақият» ва q 1 p эҳтимоллик билан «муваффақиятсизлик». Бундай тажрибалар серияси Бернулли схемаси деб аталади. (Тажрибалар сериясида ишлатилаётган «муваффақият» ва «муваффақиятсизлик» терминлари анъанавий атамалар бўлиб, биз учун уларнинг номларидан кўра тажриба натижалари муҳим.) Бернулли схемасида муваффақиятлар сонини деб белгиласак, бу n катталик дискрет эҳтимоллик фазосида берилган тасодифий миқдор бўлади. Дарҳақиқат, агар k тажриба муваффақият билан тугаса, 1, акс ҳолда k 0 деймиз ва , , . . . , векторни қараймиз. Бу векторни чекли k 1 2 n эҳтимоллик фазосининг нуқтаси сифатида қараймиз: , , . . . , . 1 2 n Бу нуқтанинг берилиши барча n та тажрибанинг натижаларини аниқлайди ва аксинча. Шундай қилиб, миқдор тасодифий тажриба натижасининг n функциясидир ва . . . . n 1 2 n 119 International scientific journal “Interpretation and researches” Volume 2 issue 22 (44) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2 Энди эҳтимоллик фазосида P P , , . . . , эҳтимолликни 1 2 n аниқлаймиз. Барча n та тажриба ўзаро боғлиқсиз ва муваффақият эҳтимоллиги ҳар бир тажрибада бир хил эканлигидан P P P . . . P , (1.1) 1 2 n бу ерда P сон k тажрибада натижанинг эҳтимоллигидир; k k 1 k n Шартга кўра P 1 p, P 0 q . демак, (1.1) формуланинг ўнг томонида p га тенг кўпайтувчиларнинг сони ларнинг орасидаги бирлар сонича, q га тенг кўпайтувчиларнинг сони эса k k ларнинг орасидаги ноллар сонича. Яъни n n n P p k 1 kq k 1 k . (1.2) Юқоридаги мулоҳазалар асосида тасодифий миқдорнинг тақсимот n қонунини аниқлаймиз: n P k P k n k k 1 (1.3) P P . . . P . 1 2 n ... k 1 2 n (1.2) формулага кўра (1.3) тенгликнинг ўнг томонидаги ҳар бир қўшилувчи учун P P . . . P pkqn k 1 2 n тенгликка эга бўламиз. Бу қўшилувчилар сони эса роппа-роса n! Ck n k! n k ! та. Ҳақиқатдан ҳам k та компонентаси 1 лардан ва n k та компонентаси 0 лардан иборат бўлган n ўлчовли , , . . . , в