ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА

Аннотация

This article considered interpolation of functions by means of Lagrange form. Program realisation interpolation of method Lagrange is resulted. Keywords: interpolation of functions, Lagrange form, the approached value, approximating function, interpolation knots. Интерполяция – математический метод, который используется для нахождения значения функции в промежуточной точке между двумя заданными значениями функции [1, 2]. Интерполяция позволяет рассчитывать промежуточные значения функций, не зная их точного значения в данной точке. Принцип работы интерполяции основан на использовании заданных значений функции, чтобы найти значения функции во всех других точках на основе определенной формулы [3-6]. На отрезке  a,b  заданы точки x ,x ,...,x и значения некоторой функции в 0 1 n этих точках f (x ) = y , f (x ) = y ,..., f (x ) = y . 0 0 1 1 n n Требуется построить функцию , принадлежащую известному классу (x) и принимающую в заданных точках x те же значения, что и функция f (x) , i т. е. f(x ) =(x ), (i = 0,1,2,...,n). i i Геометрически это обозначает, что нужно найти кривую y =(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M (x,y ) (i = 0,1,...,n) i i i . 140 International scientific journal “Interpretation and researches” Volume 2 issue 2 (24) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2 Y X 0 Построение по исходной таблице приближающей функции (x) : f (x) (x), при условии строгого совпадения значений f (x) и (x) в точках x , т. е. f (x )=(x ) (i =0,1,...,n), называется интерполированием. При этом i i i (x) называется интерполирующей функцией, а x – узлами интерполяции. i Интерполяционную формулу обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f (x) для значений аргумента x , отличных от узлов интерполирования. Выборка экспериментальных данных представляет собой массив данных, который характеризует процесс изменения измеряемого сигнала в течение заданного времени (либо относительно другой переменной). Для выполнения теоретического анализа измеряемого сигнала необходимо найти аппроксимирующую функцию, которая свяжет дискретный набор экспериментальных данных с непрерывной функцией – интерполяционным полиномом n-степени. Одним из способов представления данного интерполяционного полинома n- степени может быть использован многочлен в форме Лагранжа. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа – это математическая функция позволяющая записать полином n-степени, который будет соединять все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки в различные моменты времени с непостоянным временным шагом измерений. Интерполяционная формула Лагранжа выглядит следующим образом: n (x− x )*...*(x− x )*(x− x )*...*(x− x ) L (x) =  0 i−1 i+1 n  y . n (x − x )*...*(x − x )*(x − x )*...*(x − x ) i i=0 i 0 i i−1 i i+1 i n 141 International scientific journal “Interpretation and researches” Volume 2 issue 2 (24) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2 Формула Лагранжа применима для произвольно заданных узлов интерполяции. Интерполяционный полином в форме Лагранжа часто оказывается удобным для проведения различных теоретических исследований в области вычислительной математики. Так, например, полином в форме Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования таблично-заданной функцией. Задание: Функция y = f (x) задана таблицей. Построить по имеющимся данным интерполяционный полином Лагранжа и вычислить значение функции в точкеx . Значения функции x X 0.03 0.38 0.59 0.64 0.79 0.86 0.97 0.5 Y 0.0296 0.3221 0.4637 0.4947 0.5822 0.6206 0.6780 В данной таблице нет интересующего нас значения аргумента. Для того чтобы решить эту задачу нужно построить для функции интерполянт, и его значение на аргументе принять за приближенное значение для функции. Класс функций, к которому принадлежит исследуемая зависимость, тоже не указан. Предположив, что функция имеет достаточную гладкость, можно заменить её интерполяционным алгебраическим полиномом. Иными словами, будем считать, что в промежутках между узлами значения функции с приемлемой погрешностью можно заменить значениями интерполяционного полинома, совпадающего с функцией в узлах. Процесс решения данной задачи вручную будет весьма трудоёмким. Для решения этой задачи воспользуюсь программными средствами. Программа для реализации интерполяционного полинома Лагранжа 142 International scientific journal “Interpretation and researches” Volume 2 issue 2 (24) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2 Вывод: Рассмотренный пример показывает, что интерполирование функций с помощью формулы Лагранжа это один из наиболее простых способов приближения одной функции с помощью другой. Необходимость интерполирования возникает, например, при получении экспериментальных данных в виде таблицы, где требуется интерполировать табличные значения плавной (гладкой) функцией, совпадающей с табличными значениями и дающей некоторое представление об изучаемой зависимости в промежутках между измерениями. В дру