IKKINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA ULARNI YECHISHNING O’ZGARMASNI VARIATSIYALASH USULI. OSTROGRADSKIY-LIUVILL FORMULASI

Аннотация

Ushbu maqola orqali yuqori darajali tenglamalarning yechilish usullari bilan tanishasiz. Hamda asosan Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularni yehishning ozgarmasni variatsiyalash usuli bilan to'liq tanishasiz. Ostrogradskiy-Liuvill formulasi bilan ishlashni ham ko‘rib chiqiladi. Annotation: This article will introduce you to the methods of solving higher-order equations. You will also be fully familiar with the methods of solving second-order differential equations and the method of variation of the invariant. The Ostrogradsky-Liouville formula will also be discussed. Kalit so‘zlar: Bir jinsli, variatsiyalash, differensial, Ostrogradskiy-Liuvill formulasi. Keywords: Homogeneous, variational, differential, Ostrogradsky-Liouville formula. O’zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamalar. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamalar. 29 y   p y   q y  0 (1.1) tenglama berilgan bo’lsin, bunda p va q -o’zgarmas haqiqiy sonlar. Yuqorida isbot qilinganiga asosan bu tenglamaning umumiy integralini topish uchun uning ikkita chiziqli erkli xususiy yechimini topish yetarlidir. Xususiy yechimlarni y  e k x ( б у н д а k  c o n s t) (1.2) ko’rinishda izlaymiz; bu holda y ke kx yk 2 e kx ; hosilalarning bu ifodalarini (1) tenglamaga qo’ysak, u kx 2 e (k  pkq) 0 ko’rinishni oladi. kx e  0 Ammo bo’lgani uchun bundan 2 k  pkq 0 (1.3) ekani kelib chiqadi. YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo Demak, agar k(1.3) tenglamani qanoatlantirsa, u holda ekx (1.1) tenglamaning yechimi bo’ladi. (1.3) teglama (1.1)tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Xarakteristik tenglama-ikkita ildizi kvadrat tenglamadir; bu ildizlarni 30 k 1 в а k 2 deb belgilaymiz. Bunda : k 1 p 2 p 4 2  q ; k 2 p 2 p 4 2  q Quyidagi hollar bo’lishi mumkin: I k 1 в а k 2 -haqiqiy va bir-biriga teng bo’lmagan sonlar ( k 1  k 2 ) k ва k II 1 2-kompleks sonlar k ва k k k III 1 2-haqiqiy va bir-biriga teng sonlar( 1 2) Bu hollarni ayrim- ayrim qaraymiz k k I. Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va xar xil ( 1 2) bo’lgan xol. Bu holda y 1  e k 1 x ; y 2  e k 2 x funksiyalar xususiy yechimlar bo’ladi. Bu yechimlar y y 2 1  e e k k 2 1 x x  e ( k 2  k 1 ) x  c o n s t . bo’lgani uchun chiziqli erkli bo’ladi. Demak, umumiy integral y  c 1 e k 1 x  c 2 e k 2 x ko’rinishda bo’ladi. II. Xarakteristik tenglamaning ildizlari kompleks sonlar bo’lgan xol. Kompleks ildizlar juft-juft qo’shma kompleks son bo’lgani uchun ularni 1 2 deb belgilaymiz, bunda p 2 ;  q  p 4 2 .   xususiy yechimlarni (i)x (i)x y  e ; y  e . 1 2 (1.4) shaklda yozish mumkin. Bular haqiqiy argumentning kompleks funksiyasi bo’lib, (1.1) differentsial tenglamani qanoatlantiradi. Agar haqiqiy argumentning biror kompleks y  u(x)iv(x) (1.5) funksiyasi (1.1) tenglamani qanoatlantirsa, bu tenglamani u(x) va v(x)funksiyalar ham qanoatlantiradi. Isbot. (1.5) ifodani (1.1)tenglamaga qo’ysak, u(x)iv(x)  p u(x)iv(x) q u(x)iv(x)  0 yoki (u puqu)i(v pvqv)  0 YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo tenglamani hosil qilamiz. Ammo kompleks funksiyaning haqiqiy qismi ham, mavhum qismi ham nolga teng bo’lgan holdagina u nolga teng bo’ladi, ya’ni 31 u   p u   q u  0 , v   p v   q v  0 SHunday qilib, biz u(x) va v(x) funksiyalar tenglamaning yechimi ekanini isbot etdik. (1.4) kompleks yechimlarni haqiqiy va mavhum qismlar yig’indisi shaklida qaytadan yozamiz: y e x x i e x x y e x x i e x x 1  c o s  s i n , 2  c o s  s i n Isbot qilinganiga ko’ra y ex cosx, (1.6') 1 y ex sinx (1.6'') 2 haqiqiy funksiyalar ham (1.1) tenglamaning xususiy yechimlari bo’ladi y y e e x x x x  c t g x  c o n s t 2 c s o i s n bo’lgani uchun 1 в а 2 funksiyalar chiziqli erklidir. Demak, xarakteristik tenglama kompleks ildizlarga ega bo’lganda (1.1)tenglamaning umumiy yechimi y A y B y A e x x B e x x 1 2  c o s  s i n yoki y e x ( A c o s x B s i n x ) (1.7) ko’rinishda bo’ladi, bunda A va B- ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlar. III. Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va teng bo’lgan xol. Bu holda k 1  k 2 . Yuqoridagi muloxazalarga asosan bitta, y 1  e k 1 x xususiy yechim topiladi. Birinchi xususiy k2x e yechim bilan chiziqli erkli bo’lgan ikkinchi xususiy yechimni topish kerak ( funksiya e k 1 x ga aynan teng bo’lgani uchun uni ikkinchi xususiy yechim sifatida olish mumkin emas). Ikkinchi xususiy yechimni k x y  u(x)e 1 2 ko’rinishda izlaymiz, bunda u(x)-aniqlanishi kerak bo’lgan noma’lum funksiya. Differentsiallab, quydagilarni topamiz: y 1 ue k 1 x k ue k 1 x  e k 1 x (uk u) 2 1 1 y 2  u e k 1 x  2 k 1 u e k 1 x  k 21 u e k 1 x  e k 1 x ( u   2 k 1 u   k 21 ) hosilalarning bu ifodalarini (1) tenglamaga qo’yib, e k x1 [ u   ( 2 k 1  p ) u   ( k 21  p k 1  q ) u ]  0 k tenglamani hosil qilamiz. Lekin 1 xarakteristik tenglamaning karrali ildizi bo’lgani uchun bu holda YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYA